空間向量與立體幾何知識點與例題-資料下載頁
2025-06-23 03:59本頁面
【正文】 例3：在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；(Ⅱ)設(shè)O點在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP；(Ⅲ)求點P到平面ABD1的距離.解: (Ⅰ)如圖建立坐標(biāo)系DACD1, ∵棱長為4 ∴A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1） ∴ = (4, 4, 1) , 顯然=（0，4，0）為平面BCC1B1的一個法向量 ∴直線AP與平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ= |cos, |= ∵θ為銳角，∴直線AP與平面BCC1B1所成的角θ為arcsin (Ⅲ) 設(shè)平面ABD1的法向量為=（x, y, 1)，∵=（0，4，0），=（4，0，4） 由⊥，⊥ 得 ∴ =（1, 0, 1)， ∴點P到平面ABD1的距離 d = 例4：在長、寬、高分別為2，2，3的長方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O與B1C的距離。解：如圖，建立坐標(biāo)系DACD1，則O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，2，0）∴ 設(shè)A1O與B1C的公共法向量為，則 ∴ ∴ A1O與B1C的距離為d =例5：在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是B1CC1D1的中點，求A1到面BDFE的距離。解：如圖，建立坐標(biāo)系DACD1，則B（1，1，0），A1（1，0，1），E（，1，1） ∴ 設(shè)面BDFE的法向量為，則 ∴ ∴ A1到面BDFE的距離為d =附：8
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