淺談用向量法證明立體幾何中的幾個定理-資料下載頁
2024-11-06 07:25本頁面
【正文】 用向量法證明步驟1記向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c∴a+b+c=0則i(a+b+c)=ia+ib+ic=acos(180(C90))+b0+ccos(90A)=asinC+csinA=0接著得到正弦定理其他△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點HCH=asinBCH=bsinA∴asinB=bsinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC：任意三角形ABC,⊙,所以∠DAB=90度因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠!設向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c平方(1)向量ba=2d(ba)平方=4d平方a平方2ab+b平方=4d平方(2)(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方c平方=1/2(a+b)d平方AM^2=1/2(AB^2+AC^2)BM^2已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理過A做AG‖DC交EF于p點由三角形中位線定理有：向量Ep=189。向量BG又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質)∴向量pF=189。(向量AD+向量GC)∴向量Ep+向量pF=189。(向量BG+向量AD+向量GC)∴向量EF=189。(向量AD+向量BC)∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)得證先假設兩條中線AD,BE交與p點連接Cp,取AB中點F連接pFpA+pC=2pE=BppB+pC=2pD=AppA+pB=2pF三式相加2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF3pA+3pB+2pC=2pF6pF+2pC=2pFpC=2pF所以pC,pF共線，pF就是中線所以ABC的三條中線交于一點p連接OD,OE,OFOA+OB=2OFOC+OB=2ODOC+OC=2OE三式相加OA+OB+OC=OD+OE+OFOD=Op+pDOE=Op+pEOF=Op+pFOA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp由第一問結論2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp2pA+2pB+2pC=01/2Ap+1/2Bp+1/2Cp所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)
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