函數(shù)的奇偶性與周期性-資料下載頁(yè)
2025-07-25 05:18本頁(yè)面
【正文】 )＝－xlg(2＋x)∴f(x)＝10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，常數(shù)a∈R)．(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)若函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2(x≠0)，顯然為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(2)f′(x)＝2x－＝，當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝≥0，解得x≥，由f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，可知≤2，解得0＜a≤16.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，16]．B組 能力突破1．若f(x)是定義在R上的函數(shù)，則“f(0)＝0”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的 ( )A．必要不充分條件 B．充要條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：(x)在R上為奇函數(shù)?f(0)＝0；f(0)＝0f(x)在R上為奇函數(shù)，如f(x)＝x2，故選A.2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，則f(2)等于( )A．2 B. C. D．a(chǎn)2解析：選B.∵f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，∴f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a，∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，②由①、②聯(lián)立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝.3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( )A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)解析：(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)可以推知，f(x)在[－2,2]上遞增，又f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)．f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．4．定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x均有f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)且f(2 016)＝2 016，則f(2 028)＝________.解析：∵x∈R，f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)，∴f(x＋4)＝f(x＋2)－f(x)＝－f(x－2)，∴f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是以12為周期的函數(shù)．又∵f(2 016)＝2 016，∴f(2 028)＝f(2 028－12)＝f(2 016)＝2 016.答案：2 0165．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1，x2∈D，有．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．解：(1)∵對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(3)依題設(shè)有f(44)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函數(shù)，∴f(x－1)＜2?f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.∴x的取值范圍是{x|－15＜x＜17且x≠1}．
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