中考幾何最值問題含答案資料-資料下載頁(yè)
2025-06-23 18:44本頁(yè)面
【正文】 于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時(shí)點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)． 三．解答題（共1小題）10．（2015?黃岡中學(xué)自主招生）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在△ABC（其中∠BAC是一個(gè)可以變化的角）中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合．他的方法是以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。得到△A′BC，連接A′A，當(dāng)點(diǎn)A落在A′C上時(shí)，此題可解（如圖2）．請(qǐng)你回答：AP的最大值是 6 ．參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，等腰Rt△ABC．邊AB=4，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則AP+BP+CP的最小值是?。ɑ虿换?jiǎn)為） ．（結(jié)果可以不化簡(jiǎn)）考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題．分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三邊關(guān)系來求A′C即AP的長(zhǎng)度；（2）以B為中心，將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。得到△A39。P39。B．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知PA+PB+PC=P39。A′+P39。B+PC．當(dāng)A39。、P39。、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，（P39。A′+P39。B+PC）最短，即線段A39。C最短．然后通過作輔助線構(gòu)造直角三角形A′DC，在該直角三角形內(nèi)利用勾股定理來求線段A′C的長(zhǎng)度．解答：解：（1）如圖2，∵△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。得到△A′BC，∴∠A′BA=60176。，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等邊三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，則當(dāng)點(diǎn)A′A、C三點(diǎn)共線時(shí)，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如圖3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B為中心，將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60176。得到△A39。P39。B．則A39。B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P39。B+PC．∵當(dāng)A39。、P39。、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，（P39。A+P39。B+PC）最短，即線段A39。C最短，∴A39。C=PA+PB+PC，∴A39。C長(zhǎng)度即為所求．過A39。作A39。D⊥CB延長(zhǎng)線于D．∵∠A39。BA=60176。（由旋轉(zhuǎn)可知），∴∠1=30176。．∵A39。B=4，∴A39。D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A39。DC中A39。C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化簡(jiǎn)為）．故答案是：2+2（或不化簡(jiǎn)為）．點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．
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