幾何定值與極值問題-資料下載頁
2025-03-24 12:12本頁面
【正文】 定值，并求出這個定值.分析：問：這個圖形中不變的是什么？不變的角是那一個？答： 此題中的不變量是弧AB，因此∠AMB也是不變量；不變關系是相切。問：已知直線和圓已經相切，我們會想到什么？答：連接圓心與切線方法1：問：要證∠ACB有定值，可以轉化為求什么為定值？答：要證∠ACB有定值，只需證∠CAB+∠CBA是定值，只需證∠MAB+∠MBA是定值，只要∠AMB是定值即可。證明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180－∠AMB，∵M是△ABC的內心，∴∠CAB+∠CBA=2(180－∠AMB).∴∠ACB=180－（∠CAB+∠CBA）=180－2(180－∠AMB)= 2∠AMB－180＝60.∴∠ACB有定值60.方法2：問：要證∠ACB有定值，可以轉化為求什么為定值？答：要證∠ACB有定值，只需證∠EMF是定值，只需證∠EMD+∠FMD是定值，只要∠AMD+∠BMD即∠AMB是定值即可。證明：在四邊形CEMF中，∠C+∠EMF=180，∵M是△ABC的內心，∴∠DMA=∠EMA, ∠FMB=∠DMB∴∠EMD+∠FMD=2∠AMB =240∴∠EMF=120 ∴∠C =180∠EMF=60總結：若要證的不變量比較困難，你可以先找找題中比較容易看出的不變量，然后建立兩者之間的聯(lián)系。（多角度，多方位地研究動態(tài)幾何中的定值問題，本題以圓為背景，研究角的定值問題。）過渡：上題是道有關定值的證明題，也就是已經明確方向肯定是定值了，若不是證明題呢？【問題3】 已知：O是如圖同心圓的圓心,AB是大圓的直徑?點P是小圓上的一動點,大小圓半徑分別為R與r?問:PA2＋PB2是否有定值,若有,求出定值。若沒有,說明理由.分析：這道題是探索定值的問題，可以先用特位定值法，探索以下是否可能是定值。① 點P放在直徑AB上.得PA2＋PB2＝（R＋r）2＋（. R－r）2＝2（R2＋r2）.② 點P放在與直徑AB垂直的另一條直徑上也可得PA2＋PB2＝ R2＋r2＋R2＋r2＝2（R2＋r2）.說明PA2＋PB2非常有可能是定值，而且這個值為2（R2＋r2）證明：?。ㄖ苯侨切斡嬎惴ǎ㏄A2＋PB2＝HA2＋PH2+PH2＋HB2＝2PH2＋(OH+R)2+(ROH)2＝2PH2＋2OH2+2R2=2(PH2＋OH2) +2R2=2r2＋2R2解答動態(tài)幾何定值探索問題的方法，一般有兩種： 第一種是分兩步完成 ：① 先探求定值. 它要用題中固有的幾何量表示.② 再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置，找出定值的表達式，然后寫出證明. 第二種是采用綜合法，直接寫出證明.結束語：數(shù)學因運動不再枯燥，數(shù)學因運動而充滿活力。希望同學們能夠把握動態(tài)幾何的解題規(guī)律。【小結】問：這節(jié)課我們學習了一類怎么樣的問題？用什么方法解決？答：動態(tài)幾何中的定值問題特點：圖形中的某個元素，按某種規(guī)律在運動類型：（1）點動 （2）線動 （3）旋轉、平移 （4）形變解題思路：不要被動、變迷惑，通過觀察，分析，動中窺靜，變化之中求不變，從而明確圖形之間的內在聯(lián)系，找到解題的途徑。15
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