幾何定值與極值問題(編輯修改稿)
2025-04-20 12:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 位置，一般情況就比較好證了。 第5題： 分析：因?yàn)镈A＝DB，所以就可以拼合成一個(gè)四邊形，然后再去與比較面積的大小。 證明：(1)如圖(1)，以D為對(duì)稱中心，把旋轉(zhuǎn)，易知四邊形是凸四邊形，連結(jié)，而且 (2)當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到與A重合時(shí)，如圖(2) (3)當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到與B重合時(shí)，如圖(3) 綜合(1)、(2)、(3) 總能成立。 第6題：分析：初看本題不好下手，但仔細(xì)想來有兩條路可走，一是把分別用同一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)的代數(shù)式表示，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求極值；另一是將的和，分別求其代數(shù)式再求極值。 證明：設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則m＝a＋b＋c 第7題：分析：P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)隨P的運(yùn)動(dòng)而動(dòng)，題中涉及兩個(gè)未知量的和。BQ隨AP的變化而變化，所以可用AP的代數(shù)式來表示。這樣，我們?cè)O(shè)所求兩線段之和為線段AP的函數(shù)，即可用代數(shù)法求解。 解：設(shè)AP＝x，AB＝m，AD＝n，AP＋BQ＝y(tǒng)，易證 把(1)式變形為 即y的最小值是，用代入(2)式 解得，當(dāng)AP的長(zhǎng)為平行四邊形ABCD的比例中項(xiàng)式，AP＋BQ的值最小。 第8題：分析：設(shè)OA＝x，OB＝y(tǒng)觀察圖形可看出中，斜邊AB上的高OP＝r為定值，則AB越小，其面積越小，當(dāng)OA＝OB時(shí)，面積最小，此時(shí)，也最小，的最小值為。動(dòng)態(tài)幾何中的定值問題開場(chǎng)白：同學(xué)們，動(dòng)態(tài)幾何類問題是近幾年中考命題的熱點(diǎn)，題目靈活、多變，能夠全面考查同學(xué)們的綜合分析和解決問題的能力。這類問題中就有一類是定值問題，下面我們來看幾道題：【問題1】已知一等腰直角三角形的兩直角邊AB=AC=1，P是斜邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則PE+PF= 。方法1：特殊值法：把P點(diǎn)放在特殊的B點(diǎn)或C點(diǎn)或BC中點(diǎn)。此種方法只適合小題。方法2：等量轉(zhuǎn)化法：這是絕大部分同學(xué)能夠想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE。方法3：等面積法：連接AP，總結(jié)語：這雖然是一道動(dòng)態(tài)幾何問題，難嗎？不難，在解決過程中（方法2抓住了邊長(zhǎng)AB 的不變性和PE,PF與BE,AE的不變關(guān)系；方法3抓住了面積的不變性），使得問題迎刃而解。設(shè)計(jì)：大部分學(xué)生都能想到方法2，若其他兩種方法學(xué)生沒有想到，也不要深究，更不要自己講掉。此題可叫差生或中等偏下的學(xué)生回答（賽比艷，艾科）（設(shè)計(jì)意圖：由簡(jiǎn)到難，讓程度最差的同學(xué)也有在課堂上展示自我的機(jī)會(huì)。）過渡：這道題太簡(jiǎn)單了，因?yàn)榈妊苯侨切翁厥饬?，我若把等腰直角三角形換成一般的等腰三角形，問題有沒有變化，又該如何解決？請(qǐng)看：【變式1】若把問題1中的等腰直角三角形改為等腰三角形，且兩腰AB=AC=5，底邊BC=6，過P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則PE+PF還是定值嗎？若是，是多少？若不是，為什么?方法1：三角形相似進(jìn)行量的轉(zhuǎn)化 （板書）（M為BC中點(diǎn)）（解題要點(diǎn)：等腰三角形中，底邊上的中線是常作的輔助線，抓住這條線的長(zhǎng)度是不變量這個(gè)特點(diǎn)，建立PE,PF與AM之間的聯(lián)系，化動(dòng)為靜）方法2：等面積法：（M為BC中點(diǎn)） （板書）（解題要點(diǎn)：抓住三角形面積是個(gè)不變量，用等面積法求解，這是在三角形中求解
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