幾何定值與極值問題-wenkub
2023-04-08 12:12:41 本頁面
【正文】 線，實(shí)質(zhì)上這些問題是軌跡問題。 幾何定值和極值 1. 幾何定值問題 (1)定量問題：解決定量問題的關(guān)鍵在探求定值，一旦定值被找出，就轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何證明題了。 2. 幾何極值問題：最常見的幾何極值問題大體包括：有關(guān)線段的最大最小問題；三角形面積的最大最小問題；角的最大最小問題等。 分析：設(shè)兩圓為⊙O、⊙，現(xiàn)從運(yùn)動極端分析，因?yàn)橹本€與都是以P為固定點(diǎn)運(yùn)動的。 證明：如右圖，連結(jié)PQ、BQ、則有 例3. 在定角XOY的角平分線上，任取一點(diǎn)P，以P為圓心，任作一圓與OX相交，靠近O點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與OY相交，遠(yuǎn)離O點(diǎn)的交點(diǎn)為B，則為定角。 證明：連結(jié)AE、ED 點(diǎn)評：本題用到了垂徑定理的推論，圓周角、弦切角、直徑所對的圓周角、直角三角形兩銳角互余，角平分線的性質(zhì)等知識。求四邊形可以用割補(bǔ)的方法，把四邊形分割成和等腰兩個三角形分別求解。 2. 在正方形ABCD的外接圓的AD上任取一點(diǎn)P，則(PC＋PA)：PB為定值。二. 幾何極值問題 5. 在中，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別是AC、BC上的點(diǎn)，試證明的面積不超過的面積之和。 2. 答：解答題的第1題、第2題和第4題是幾何定值中的定量問題；第3題是幾何定值中的定形問題；第5到第8題是幾何極值問題。 證明：連結(jié)PA、PB、PC顯然有： 第2題：分析：用運(yùn)動法令P與D重合，則(PC＋PA)： PB變?yōu)?DA＋ DC)：DB，顯然其定值為。 第4題：這是定值問題，既然AB是⊙O的動弦，而且與⊙O的定直徑CD保持夾角為，則可把這些動弦視為一組平行移動的弦，顯然，做一條過圓心且平行于AB的弦，則E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，這時，于是探求到定值為，這里的是特殊位置，一般情況就比較好證了。 證明：設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則m＝a＋b＋c 第7題：分析：P是AB邊上的一個動點(diǎn)，Q點(diǎn)隨P的運(yùn)動而動，題中涉及兩個未知量的和。 第8題：分析：設(shè)OA＝x，OB＝y(tǒng)觀察圖形可看出中，斜邊AB上的高OP＝r為定值，則AB越小，其面積越小，當(dāng)OA＝OB時，面積最小，此時，也最小，的最小值為。此種方法只適合小題。此題可叫差生或中等偏下的學(xué)生回答（賽比艷，艾科）（設(shè)計(jì)意圖：由簡到難，讓程度最差的同學(xué)也有在課堂上展示自我的機(jī)會。叫用方法1的同學(xué)先站起來回答，然后再叫用方法2的同學(xué)。在解題過程中要注意點(diǎn)或線在運(yùn)動的過程中，是否需要討論。問：已知直線和圓已經(jīng)相切，我們會想到什么？答：連接圓心與切線方法1：問：要證∠ACB有定值，可以轉(zhuǎn)化為求什么為定值？答：要證∠ACB有定值，只需證∠CAB+∠CBA是定值，只需證∠MAB+∠MBA是定值，只要∠AMB是定值即可。）過渡：上題是道有關(guān)定值的證明題，也就是已經(jīng)明確方向肯定是定值了，若不是證明題呢？【問題3】 已知：O是如圖同心圓的圓心,AB是大圓的直徑?點(diǎn)P是小圓上的一動點(diǎn),大小圓半徑分別為R與r?問:PA2＋PB2是否有定值,若有,求出定值?！拘〗Y(jié)】問：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一類怎么樣的問題？用什么方法解決？答：動態(tài)幾何中的定值問題特點(diǎn)：圖形中的某個元素，按某種規(guī)律在運(yùn)動類型：（1）點(diǎn)動
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