數(shù)學(xué)二次函數(shù)綜合(定值)問題與解析-wenkub
2023-04-19 04:25:19 本頁(yè)面
【正文】 坐標(biāo)系xOy中，△OAB的頂點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，且=3，sin∠OAB=.（1）若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，求經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）在(1)中，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使以P、O、C、A為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若將點(diǎn)O、點(diǎn)A分別變換為點(diǎn)Q（ 2k ,0）、點(diǎn)R（5k，0）（k1的常數(shù)），設(shè)過Q、R兩點(diǎn)，且以QR的垂直平分線為對(duì)稱軸的拋物線與y軸的交點(diǎn)為N，其頂點(diǎn)為M，記△QNM的面積為，△QNR的面積，求∶的值.解：（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，yxFP3BECDAP2P1O，．又由勾股定理，得．．點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為． 2分設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．由經(jīng)過三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為． 2分（2）假設(shè)在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形為梯形．①點(diǎn)不是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線與拋物線交于點(diǎn)．則直線的函數(shù)表達(dá)式為．對(duì)于，令或．而點(diǎn)，．在四邊形中，顯然．點(diǎn)是符合要求的點(diǎn)． 1分②若．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．將點(diǎn)代入，得．．直線的函數(shù)表達(dá)式為．于是可設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．將點(diǎn)代入，得．．直線的函數(shù)表達(dá)式為．由，即．而點(diǎn)，．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，由勾股定理，得．而．在四邊形中，但．點(diǎn)是符合要求的點(diǎn)． 1分③若．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．將點(diǎn)代入，得直線的函數(shù)表達(dá)式為．直線的函數(shù)表達(dá)式為．由，即．而點(diǎn)，．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，由勾股定理，得．而．在四邊形中，但．點(diǎn)是符合要求的點(diǎn)． 1分綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形為梯形． 1分（3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下．yxQOGRMN①當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，則此拋物線與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)．可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．即．如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．，，．．．． 2分②當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，則此拋物線與軸的正半軸交于點(diǎn)．同理，可得． 1分綜上可知，的值為． 【
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