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數(shù)學(xué)二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題-wenkub

2023-04-19 04:23:38 本頁(yè)面
 

【正文】 如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CM⊥EF于M,設(shè)E(a,﹣a+2),F(xiàn)(a,﹣a2+a+2),∴EF=﹣a2+a+2﹣(﹣a+2)=﹣a2+2a(0≤x≤4).∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN,=+a(﹣a2+2a)+(4﹣a)(﹣a2+2a),=﹣a2+4a+(0≤x≤4).=﹣(a﹣2)2+∴a=2時(shí),S四邊形CDBF的面積最大=,∴E(2,1).點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用,涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用,等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,四邊形的面積的運(yùn)用,解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵. 3.(2015?金山區(qū)一模)如圖,已知直線y=2x+6與x軸、y軸分別交于A、D兩點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B(1,0).(1)求拋物線的解析式;(2)在線段AD上取一點(diǎn)F(點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合).過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)G、交x軸于點(diǎn)H.當(dāng)FG=GH時(shí),求點(diǎn)H的坐標(biāo);(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線AD交于點(diǎn)E,拋物線與y軸的交點(diǎn)為C,點(diǎn)M在線段AB上,當(dāng)△AEM與△BCM相似時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:(1)根據(jù)函數(shù)值,可得相應(yīng)自變量的值,根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;(2)根據(jù)自變量的值,可得相應(yīng)函數(shù)值,根據(jù)FG=GH,可得關(guān)于a的方程,解方程,可得答案;(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得關(guān)于b的方程,解方程,可得答案.解答:解:(1)當(dāng)y=0時(shí),2x+6=0.解得x=﹣3,即A(﹣3,0),由拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣3,0)和點(diǎn)B(1,0),得,解得.故拋物線為y=﹣x2﹣x+2;(2)設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0),F(xiàn)(a,2a+6),G(a,﹣a2﹣a+2).由FG=GH,得2a+6=2(﹣a2﹣a+2).化簡(jiǎn),得2a2+7a+3=0.解得a=﹣,a=﹣3(不符合題意要舍去),點(diǎn)H的坐標(biāo)(﹣,0);(3)設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(b,0),AM=b+3,BM=1﹣b,拋物線的對(duì)稱軸與直線AD交于點(diǎn)E,拋物線與y軸的交點(diǎn)為C,得E(﹣1,4),C(0,2).由勾股定理,得AE=2,BC=.當(dāng)△AEM∽△BCM時(shí),=,即=.化簡(jiǎn),得3b=﹣1,解得b=﹣,即M(﹣,0);當(dāng)△AEM∽△BMC時(shí),=,即=,化簡(jiǎn),得b2+2b+7=0.實(shí)數(shù)b不存在;綜上所述:M(﹣,0).點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)綜合題,(1)利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,(2)利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì),(3)利用了相似三角形的性質(zhì). 4.(2015?普陀區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(m,0)和點(diǎn)B(0,2m)(m>0),點(diǎn)C在x軸上(不與點(diǎn)A重合)(1)當(dāng)△BOC與△AOB相似時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)(用m表示)(2)當(dāng)△BOC與△AOB全等時(shí),二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),求m的值,并求點(diǎn)C的坐標(biāo)(3)P是(2)的二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn),∠APC=90176。.(1)求拋物線的解析式;(2)求點(diǎn)C坐標(biāo);(3)直線y=﹣x+1上是否存在點(diǎn)P,使得△BCP與△OAB相似?若存在,請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:(1)根據(jù)直線的解析式求得A、B的坐標(biāo),然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式;(2)作CD⊥x軸于D,根據(jù)題意求得∠OAB=∠CBD,然后求得△AOB∽△BDC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得CD=2BD,從而設(shè)BD=m,則C(2+m,2m),代入拋物線的解析式即可求得;(3)分兩種情況分別討論即可求得.解答:解:(1)把x=0代入y=﹣x+1得,y=1,∴A(0,1),把y=0代入y=﹣x+1得,x=2,∴B(2,0),把A(0,1),B(2,0)代入y=x2+bx+c得,解得,∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2﹣x+1,(2)如圖,作CD⊥x軸于D,∵∠ABC=90176。 2015年03月03日光輝職業(yè)的初中數(shù)學(xué)組卷 一.解答題(共30小題)1.(2015?崇明縣一模)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)直線y=﹣+1與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B,點(diǎn)C為拋物線上的一點(diǎn),且∠ABC=90176。.(1)求拋物線的解析式;(2)求點(diǎn)C坐標(biāo);(3)直線y=﹣x+1上是否存在點(diǎn)P,使得△BCP與△OAB相似?若存在,請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2.(2015?三亞三模)如圖,直線y=﹣x+2與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C和點(diǎn)A(﹣1,0).(1)求B、C兩點(diǎn)坐標(biāo);(2)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;(3)若拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D,則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(4)點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).3.(2015?金山區(qū)一模)如圖,已知直線y=2x+6與x軸、y軸分別交于A、D兩點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+2(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B(1,0).(1)求拋物線的解析式;(2)在線段AD上取一點(diǎn)F(點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合).過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)G、交x軸于點(diǎn)H.當(dāng)FG=GH時(shí),求點(diǎn)H的坐標(biāo);(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線AD交于點(diǎn)E,拋物線與y軸的交點(diǎn)為C,點(diǎn)M在線段AB上,當(dāng)△AEM與△BCM相似時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).4.(2015?普陀區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(m,0)和點(diǎn)B(0,2m)(m>0),點(diǎn)C在x軸上(不與點(diǎn)A重合)(1)當(dāng)△BOC與△AOB相似時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)(用m表示)(2)當(dāng)△BOC與△AOB全等時(shí),二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),求m的值,并求點(diǎn)C的坐標(biāo)(3)P是(2)的二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn),∠APC=90176?!唷螦BO+∠CBD=90176。求點(diǎn)P的坐標(biāo)及∠ACP的度數(shù).考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:(1)分類討論:△BOC∽△BOA,△BOC∽△AOB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得答案;(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得C點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得關(guān)于a的方程,根據(jù)解方程,可得a的值可得p點(diǎn)坐標(biāo),分類討論:當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,1)時(shí),根據(jù)正弦函數(shù)據(jù),可得∠COP的度數(shù),根據(jù)等腰三角形得到性質(zhì),可得答案; 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣,1)時(shí),根據(jù)正弦函數(shù)據(jù),可得∠AOP的度數(shù),根據(jù)三角形外角的性質(zhì),可得答案.解答:解:(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,0)或(4m,0).或(﹣4m,0);(2)當(dāng)△BOC與△AOB全等時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,0),二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),解得.二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+4,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0);(3)作PH⊥AC于H,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,﹣a2+4),∵∠AHP=∠PHC=90176。當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣,1)時(shí),sin∠P2OF==,∠P2OF=30176?!唷鰾MN∽△CBA,∴=,∵BN=5t,BM=t﹣,∴=,∴t=(秒),如圖4,當(dāng)點(diǎn)N在CA上時(shí),設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E,則CN=EB,若MN⊥AB,則∠A=∠MNE,∵∠ACB=∠MEN,∴△ACB∽△NEM,∴=,∴=,∴EM=1,∴EB=MB﹣EM=t﹣﹣1=t﹣,∵CN=t﹣2,∴t﹣2=t﹣,∴t=.點(diǎn)評(píng):此題考查了二次函數(shù)的綜合,用到的知識(shí)點(diǎn)是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、三角形的面積、矩形的性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,注意分類討論思想的運(yùn)用,不要漏解. 10.(2014?梧州)如圖,拋物線y=ax2+bx+2與直線l交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),且A點(diǎn)為拋物線與y軸的交點(diǎn),B(﹣2,﹣4),拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2,過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB,交拋物線于點(diǎn)C、x軸于點(diǎn)D.(1)求此拋物線的解析式;(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)拋物線上是否存在點(diǎn)K,使得以AC為邊的平行四邊形ACKL的面積等于△ABC的面積?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.[提示:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為x=﹣,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,)].考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:(1)根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=2和B是拋物線上點(diǎn)即可求得a、b的值,即可解題;(2)易求得點(diǎn)A坐標(biāo),作BE⊥x軸于E,易證△ABE∽△DAO,可得,即可求得OD的值,即可解題;(3)易求得AB長(zhǎng)度,再根據(jù)S△ABC=AB?AC=S平行四邊形ACKL,可得點(diǎn)K到直線AC距離為AB,易求得直線AC解析式,將直線AC向左向右平移AB個(gè)單位,求得直線與拋物線交點(diǎn)即可解題.解答:解:(1)∵對(duì)稱軸為x=2,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,∴,∴解得:a=,b=2,∴拋物線的解析式是:y=﹣x2+2x+2;(2)∵點(diǎn)A在y軸上,令x=0,則y=2,∴點(diǎn)A坐標(biāo)(0,2),作BE⊥x軸于E,∵AC⊥AB,AO⊥OD,∴△ABE∽△DAO,∴∵B(﹣2,﹣4),∴OA=2,AE=6,BE=2,∴OD=6,∴點(diǎn)D坐標(biāo)是(6,0);(3)答:存在兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)K,∵AB=2,∴S△ABC=AB?AC=S平行四邊形ACKL,∴點(diǎn)K到直線AC距離為AB=;①直線KL解析式為y=﹣x+2+,則﹣x+2+=﹣x2+2x+2,解得:x=,②直線KL解析式為y=﹣x+2﹣,則﹣x+2﹣=﹣x2+2x+2,解得:x=,∴存在K點(diǎn),橫坐標(biāo)為或.點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的求解,考查了二次函數(shù)解析式的求解,考查了相似三角形的判定和相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì),考查了點(diǎn)到直線的距離的計(jì)算,本題中求得點(diǎn)K到直線AC距離為AB是解題的關(guān)鍵. 11.(2014?青海)如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為M(﹣2,﹣4),與x軸交于A、B兩點(diǎn),且A(﹣6,0),與x軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線的函數(shù)解析式;(2)求△ABC的面積;(3)能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?若能,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得a、b、c的值,即可解題;(2)易求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo),即可求得OC的長(zhǎng),即可求得△ABC的面積,即可解題;(3)作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,可將△APC的面積轉(zhuǎn)化為△AFP和△CFP的面積之和,而這兩個(gè)三角形有共同的底PF,這一個(gè)底上的高的和又恰好是A、C兩點(diǎn)間的距離,因此若設(shè)設(shè)E(x,0),則可用x來(lái)表示△APC的面積,得到關(guān)于x的一個(gè)二次函數(shù),求得該二次函數(shù)最大值,即可解題.解答:解:(1)設(shè)此函數(shù)的解析式為y=a(x+h)2+k,∵函數(shù)圖象頂點(diǎn)為M(﹣2,﹣4),∴y=a(x+2)2﹣4,又∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣6,0),∴0=a(﹣6+2)2﹣4解得a=,∴此函數(shù)的解析式為y=(x+2)2﹣4,即y=x2+x﹣3;(2)∵點(diǎn)C是函數(shù)y=x2+x﹣3的圖象與y軸的交點(diǎn),∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,﹣3),又當(dāng)y=0時(shí),有y=x2+x﹣3=0,解得x1=6,x2=2,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0),則S△ABC=|AB|?|OC|=83=12;(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.設(shè)E(x,0),則P(x,x2+x﹣3),設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,∵直線AC過(guò)點(diǎn)A(﹣6,0),C(0,﹣3),∴,解得,∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(x,﹣x﹣3),則|PF|=﹣x﹣3﹣(x2+x﹣3)=﹣x2﹣x,∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF|?|AE|+|PF|?|OE|=|PF|?|OA|=(﹣x2﹣x)6=﹣x2﹣x=﹣(x+3)2+,∴當(dāng)x=﹣3時(shí),S△APC有最大值,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(﹣3,﹣).點(diǎn)評(píng):本題考查了拋物線解析式的求解,考查了一元二次方程的求解,考查了二次函數(shù)最值的求解,考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,本題中正確求得拋物線解析式是解題的關(guān)鍵. 12.(2014?河池)如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于C(0,3),頂點(diǎn)為D(1,4),對(duì)稱軸為DE.(1)拋物線的解析式是 y=﹣x2+2x+3??;(2)如圖(2),點(diǎn)P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),P′是P關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn),連接PE,過(guò)P′作P′E∥PE交x軸于F.設(shè)S四邊形EPP′P=y,EF=x,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求y的最大值;(3)在(1)中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△BCQ成為以BC為直角邊的直角三角形?若存在,求出Q的坐標(biāo);若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析:(1)根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C可求得c=3,再根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)A,B點(diǎn),即可求得a、b的值,即可解題;(2)令PP′交DE于G,易證四邊形FEPP′是平行四邊形,可得PP′=EF,易證△DPP′∽△DAB,可得,設(shè)EF=x,可得GE=4﹣x,即可求得y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式,求得最大值即可解題;(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)Q
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