導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值-資料下載頁
2025-07-26 05:39本頁面
【正文】 x(－∞，－2)－2ln f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值∴y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－2)，；單調(diào)減區(qū)間為.f(x)極大值＝f(－2)＝4－4e－2.2． 已知函數(shù)f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上單調(diào)遞減且滿足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范圍．(2)設(shè)g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．【規(guī)范解答】 (1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，則f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]ex，依題意對于任意x∈[0,1]，有f′(x)≤0.當a0時，因為二次函數(shù)y＝ax2＋(a－1)x－a的圖像開口向上，而f′(0)＝－a0，所以需f′(1)＝(a－1)e0，即0a1；當a＝1時，對于任意x∈[0,1]，有f′(x)＝(x2－1)ex≤0，且只在x＝1時f′(x)＝0，f(x)符合條件；當a＝0時，對于任意x∈[0,1]，f′(x)＝－xex≤0，且只在x＝0時，f′(x)＝0，f(x)符合條件；當a0時，因f′(0)＝－a0，f(x)不符合條件．故a的取值范圍為0≤a≤1.(2)因g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex，①當a＝0時，g′(x)＝ex0，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1，在x＝1處取得最大值g(1)＝e.②當a＝1時，對于任意x∈[0,1]有g(shù)′(x)＝－2xex≤0，g(x)在x＝0處取得最大值g(0)＝2，在x＝1處取得最小值g(1)＝0.③當0a1時，由g′(x)＝0得x＝0. 若≥1，即0a≤時， g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1＋a，在x＝1處取得最大值g(1)＝(1－a)e.當1，即a1時，g(x)在x＝處取得最大值g()＝2ae，在x＝0或x＝1處取得最小值，而g(0)＝1＋a，g(1)＝(1－a)e，由g(0)－g(1)＝1＋a－(1－a)e＝(1＋e)a＋1－e＝0，得a＝.則當a≤時， g(0)－g(1)≤0，g(x)在x＝0處取得最小值g(0)＝1＋a；當a1時，g(0)－g(1)0，g(x)在x＝1處取得最小值g(1)＝(1－a)e.課程小結(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)y＝f(x)是增加的；如果在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)0，則在這個區(qū)間上，函數(shù)y＝f(x)是減少的．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值: (1)求出導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0；(3)對于f′(x)＝0的每一個解x0：①若f′(x)在x0兩側(cè)的符號“左正右負”，則x0為極大值點；②若f′(x)在x0兩側(cè)的符號“左負右正”，則x0為極小值點；③若f′(x)在x0兩側(cè)的符號相同，則x0不是極值點．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)進行比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．34
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1