[經(jīng)濟(jì)學(xué)]d3_3單調(diào)性與極值最值-資料下載頁(yè)
2025-02-21 12:40本頁(yè)面
【正文】 yx2x1x2 21xx ?連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn) 稱(chēng)為 拐點(diǎn) . yx拐點(diǎn) 定理 1.(凹凸判定法 ) (1) 在 I 內(nèi) 則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凹的 。 (2) 在 I 內(nèi) 則 f (x) 在 I 內(nèi)圖形是凸的 . ??設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 I 上有二階導(dǎo)數(shù) 注意：如果 不存在的點(diǎn)不構(gòu)成一個(gè)區(qū)間，在其余的點(diǎn)同號(hào)，也不影響曲線的凹凸性。 ( ) 0 ( )f x f x?? ??? 或xyO例 1. 判斷曲線 的凹凸性 . 解 : ,4 3xy ??故曲線 在 上是向上凹的 . 說(shuō)明 : 1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 , 2) 根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理 , 可得拐點(diǎn)的判別法如下 : 若曲線 或不存在 , 但 )(xf ?? 在 兩側(cè) 異號(hào) , 0x 則點(diǎn) ))(,( 00 xfx 是曲線 的一個(gè)拐點(diǎn) . 則曲線的凹凸性不變 . 在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào) , 例 2. 求曲線 的拐點(diǎn) . 解 : ,3231??? xy 3592????? xyxy?y0)0,(?? ),0( ??不存在 0? ?因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線 的拐點(diǎn) . 凹 凸 )(36 32?? xx對(duì)應(yīng) 271121 ,1 ?? yy例 3. 求曲線 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn) . 解 : 1) 求 y?,1212 23 xxy ???2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo) 令 0???y 得 ,0 3221 ? xx3) 列表判別 )0,(?? ),0( 32 ),( 32 ??y?xy0 32? 0 01 2711? ?故該曲線在 )0,(?? ),( 32 ??及 上向上凹 , 向上凸 , 點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及 ),( 271132 均為拐點(diǎn) . 上在 ),0( 32凹 凹 凸 32)1,0(),( 271132內(nèi)容小結(jié) 曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別 Ixxf ???? ,0)(Ixxf ???? ,0)(+ – 拐點(diǎn) — 連續(xù)曲線上 (有切線 )的凹凸分界點(diǎn) 思考與練習(xí) ]1,0[ 上 ,0)( ??? xf 則 ,)1(,)0( ff ?? )0()1( ff ?或 )1()0( ff ?的大小順序是 ( ) )0()1()0()1()( ffffA ?????)0()0()1()1()( ffffB ?????)0()1()0()1()( ffffC ?????)0()1()0()1()( ffffD ?????提示 : 利用 )(0)( xfxf ????? 單調(diào)增加 , )10()()0()1( ????? ??fff及 B 設(shè)在 的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù) 例 7. 填空題 (1) 設(shè)函數(shù) 其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示 , 單調(diào)減區(qū)間為 。 極小值點(diǎn)為 。 極大值點(diǎn)為 . ),0(),( 21 xx??),(),0,( 21 ??xx21, xx0?x提示 : 的正負(fù)作 f (x) 的示意圖 . 單調(diào)增區(qū)間為 。 )(xf ?O 2x1xyxO x)(xf1x 2x . 在區(qū)間 上是凸弧 。 拐點(diǎn)為 ),0(),( 21 xx??))0(,0(,))(,(,))(,( 2211 fxfxxfx提示 : 的正負(fù)判斷 . 形在區(qū)間 上是凹弧 。 則函數(shù) f (x) 的圖 (2) 設(shè)函數(shù) 的圖形如圖所示 , ),(),0,( 21 ??xx)(xf ??O 2x1xy
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