專題-十六-最值問題-資料下載頁
2025-08-04 10:11本頁面
【正文】 點(diǎn) A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面積S＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|設(shè)直線m的方程為x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0由韋達(dá)定理得y1＋y2＝，y1y2＝，4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4 y1y2＝令t＝k2＋1179。1，得4S2＝，當(dāng)t＝1，k＝0時取等號．因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大．【挑戰(zhàn)自我】已知．（１）若函數(shù)圖象上任意兩個不同點(diǎn)的連線斜率小于1，求證：； （２）若，函數(shù)上任一點(diǎn)切線斜率為，當(dāng)時，求的取值范圍．解：（1）、設(shè)任意不同兩點(diǎn)為，且，則（2）、當(dāng)由題意：， 則或或解得：當(dāng)時， 【答案及點(diǎn)撥】演變題要有點(diǎn)撥，原創(chuàng)題有詳解，一般題給答案演變1：(1)由已知得A(,0),B(0,b),則={,b},于是=2,b=2． ∴k＝1,b＝2． (2)由f(x) g(x),得x+2x2－x－6,即(x+2)(x－4)0, 得－2x4, ==x+2+－5 由于x+20,則≥－3,其中等號當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1,即x=－1時成立 ∴的最小值是－3．點(diǎn)評：（1）要熟悉在其函數(shù)的定義域內(nèi)，常見模型函數(shù)求最值的常規(guī)方法．如型．（2）利用均值不等式求最值時，要注意：一正、二定、三相等，缺一不可．演變2：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)0，解得x－1或x3， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，－1），（3，＋∞）． （II）因為f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， 所以f(2)f(－2)．因為在（－1，3）上f ‘(x)0，所以f(x)在[－1, 2]上單調(diào)遞增，又由于f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． 故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7．演變3：（Ⅰ）解：設(shè)S為十字形的面積，則 （Ⅱ）解法一：（其中）當(dāng)最大． 所以當(dāng)最大． S的最大值為． 解法二： 因為 所以 令，即可解得 所以，當(dāng)時，S最大，S的最大值為． 演變4：方案甲與方案乙的用水量分別為x與z，由題設(shè)有，解得x＝19．由c＝，第二次用水量y滿足方程：，解得y=4a，故z=4a+3．即兩種方案的用水量分另為19與4 a +3．因為當(dāng)1≤a≤ 3時，x－z＝4（4－a）0，即xz．故方案乙的用水量較少．（II）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得，（*）于是+當(dāng)a為定值時，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時（不合題意，舍去）或．將代入（*）得，．故時用水量最少，此時第一次與第二次用水量分別為與，最少總用水量為．當(dāng)1≤a≤ 3時，故T（a）是增函數(shù)（也可用二次函數(shù)的單調(diào)性來判斷），這說明隨著a的值的增加，最少總用水量增加．演變5：（Ⅰ）；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)上任一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)是，由于函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，也即：．所以，；（Ⅲ）解法一．注意到的表達(dá)式形同，所以，可以考慮從的正負(fù)入手．（1）當(dāng)，即時，是R上的增函數(shù)，此時無最小值，與題設(shè)矛盾；(2) 當(dāng)，即時，．等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立．由及，可得：，解之得：．解法二．由可得：．令，則命題可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時，恒成立．考慮關(guān)于的二次函數(shù)．因為，函數(shù)的對稱軸，所以，需且只需，解之得：．此時，故在取得最小值滿足條件．演變6：解：對函數(shù)求導(dǎo)，得令解得 或，當(dāng)變化時，、的變化情況如下表：x00遞減遞增所以，當(dāng)時，的值域為（Ⅱ）對函數(shù)求導(dǎo)，得 因此，當(dāng)時， 因此當(dāng)時，為減函數(shù)，從而當(dāng)時有又，即當(dāng)時有任給，存在使得，則，即解式得 或解式得 又，故的取值范圍為22
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