【正文】 ()()11())!!nnnxpAfa????又 。 ()())()()!nnAfxxpax????()()!!nnfpxfAa????由()與()式可取 。1=?又 ，且 ，由定理有() ()+limli[]0nnxxfxAB???????????(,)x????(0nx??。11lili!()xxa??????濟南大學(xué)畢業(yè)論文 19 以上我們討論了帶拉格朗日余項的泰勒公式“中間點”的漸近問題，得到了當(dāng)區(qū)間長度趨于零與無窮時的 滿足的條件，下面我們討論泰勒公式與泰勒級數(shù)的關(guān)系。?5 泰勒公式與泰勒級數(shù) 泰勒公式和泰勒級數(shù)在解決實際問題中有某些的相似性,但是它們引入不同,因此還是有一定的差異性，由于泰勒公式是通過重復(fù)運用柯西中值定理得來的,過程比濟南大學(xué)畢業(yè)論文 20 較復(fù)雜,泰勒級數(shù)屬于函數(shù)項級數(shù)中的冪級數(shù),與泰勒公式類似在近似計算、極限運算、級數(shù)與廣義積分的斂散性判斷等方面也有具體應(yīng)用。接下來我們具體探討泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系以及泰勒級數(shù)的應(yīng)用問題。 泰勒級數(shù)與泰勒公式的區(qū)別 首先我們討論泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別。 如果在定義 中抹去余項 ，那么在 附近 可用定義 式右邊的多()nRx0xf項式來近似代替，如果函數(shù) 在 處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時稱形式為f0?。2022 00()()()()!!nnxfxfxfx????????? ??的級數(shù)為函數(shù) 在 的泰勒級數(shù)。f0 泰勒公式中含有有限多項式，泰勒級數(shù)中含有無限多項式，泰勒公式不是泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)也不是泰勒多項式。當(dāng) 的各階導(dǎo)數(shù)都存在時， 的泰勒級數(shù)在收斂情況下一定等于 ；()fx()fx ()fx但不論 的泰勒級數(shù)是否收斂，只要 有 階導(dǎo)數(shù)，就有泰勒公式成立，可1n?見泰勒級數(shù)收斂時，與泰勒公式結(jié)果一致，都是 。()fx當(dāng) 在含有 的某個鄰域 內(nèi)具有任意階的導(dǎo)數(shù)，可將 展成()fx0(,)ab()fx冪級數(shù)，其中 的乘冪的系數(shù)分別為 ，0(?()nx?0()fx， ， ， ， 在 處的泰勒1)!fx?0)2!f?? 01(!fx? ()fx0級數(shù)也是 展成 的冪級數(shù)。(x特別，當(dāng) 是 的 次多項式，將 展成 的多項式，在初等數(shù)學(xué)中，)fn()fx0)x?只能采用待定系數(shù)法，在高等數(shù)學(xué)中，當(dāng)學(xué)了泰勒公式后，我們可以先求出 ，0()fx， ， ， ， ，再按泰勒公式展成 的多項式形式0()fx?0()f?? 0()nfx? 0()x。2022 011()+()2()2nnfffxfxn????????? ??? ? 泰勒級數(shù)與泰勒公式的應(yīng)用濟南大學(xué)畢業(yè)論文 21 對于一階微分方程， 若 為關(guān)于 ， 的多項式，則可設(shè)其通=(,)dyfx(,)fyxy解為 將 及 代入,比較同次冪的系數(shù)，就可得出待定201nyaxa???? ? ?系數(shù) ， ， ， ， ，從而得到通解 。? n? 201nyaxax???? ?例 求方程 ，滿足 的特解。=dyx2x解：設(shè) 012na???? ?因為 ，所以 ,0xy所以 ，21nx? ? 112nyaxa????? ?將 ， 代入原方程得y?12212 1()n naxaxx???? ? ? ?= +3241213()a5423a??比較同次冪系數(shù)，得， ， ， ， ，10a?2231?4122513?61423aa??， ， ， ， ， ，?0a40a?6?從而， 。25yx??對于形如 的方程，當(dāng) ， 可在 內(nèi)展為+()pyx????()px?Rx??的冪級數(shù)時，那么在 內(nèi)，必有形如 的解。xR,（ ） 0nya???我們接下來利用泰勒公式求解。例 求 在點 處的各階導(dǎo)數(shù) 的值。43()1+xf?0()nf解：利用泰勒公式對其 展開，可求得 的麥克勞林公式1()??31()x??， 。32 23 )1nnx?? 0?則 的麥克勞林公式為()fx471034363()()1nnfxx????????， 。()x濟南大學(xué)畢業(yè)論文 22 由麥克勞林公式及其各項系數(shù)之間所具有的聯(lián)系可知， 。(34)0(1)34!kkf????0,12k?而 在 處的其他各階導(dǎo)數(shù)為零。()fx0? 泰勒公式與泰勒級數(shù)除了上面的應(yīng)用以外在概率的計算方面也有應(yīng)用，這里就不再贅述?？傊?，泰勒公式與泰勒級數(shù)的應(yīng)用范圍相當(dāng)?shù)膹V泛，巧妙合理的利用泰勒公式與泰勒級數(shù)，可以解決一些較難解決的高階導(dǎo)問題，在其他方面的應(yīng)用有待于我們進一步地研究和探討。結(jié) 論隨著數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家們研究出了許多的定理與公式,以便我們在解決數(shù)學(xué)疑難問題時有多重的選擇。本文我們總結(jié)了不同于課本上證明泰勒公式的方法，并通過三個方面了解了泰勒公式的應(yīng)用。泰勒公式的應(yīng)用非常廣泛，不僅局限于本文介紹的求行列式，函數(shù)斂散性，函數(shù)凹凸性。泰勒公式在各個學(xué)科中也有廣濟南大學(xué)畢業(yè)論文 23 泛的應(yīng)用，如果能很好的應(yīng)用它來解題，會使更多的人能更好的學(xué)好數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域會發(fā)展的更好。四、參考文獻[1][M].[2]劉玉璉,(下冊)[M].北京:高等教育出版社，1992.[3]劉瑜,陳美燕, n 階行列式計算中的應(yīng)用[J].內(nèi)江師范學(xué)院報,2022,S1(73):222223 [4][J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版 ),2022,S1(9): 2325濟南大學(xué)畢業(yè)論文 24 [5][J].懷化學(xué)院學(xué)報 ,2022,2(9):9093[6][J]. 沈陽建筑大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2022,6(43):774776[7][J].山東建筑工程學(xué)院學(xué)報 ,1997,3(22):105107 [8]“中間點”的漸近性[J].青島教育學(xué)院學(xué)報 ,1996,2(8):2526[9]徐香勤，張小勇. 關(guān)于泰勒(Taylor)公式的幾點應(yīng)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2022，2(8):1617[10]邱忠文，[J].工科數(shù)學(xué)， 1993,3(49):151154[11]黃宗文，[J].玉林師范學(xué)院學(xué)報，2022,3(7)：2123 [12] Taylor 中值定理“中間點”漸近性的討論[J].赤峰學(xué)院學(xué)報( 自然科學(xué)版)，2022,5(3):10[13]“中間點”的漸近性[J].青島職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報， 1996,2(8):2526[14]張樹義. 泰勒中值定理“中間點 ”當(dāng) x→+ 時的漸近性態(tài)[J] .沈陽師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，?1997,3(1):14[15] 公式中間點的漸近性態(tài)[J].天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報， 2022,4(26):7172[16]BY . [J]，65(1995),147153[17] Dale J . E. Rigdon. Calculus[M] .Beijing :China Machine Press ,2022 :467476致 謝在長達三個多月的論文寫作結(jié)束之際，在大學(xué)最后的畢業(yè)之際，首先，我要感謝在四年里面那些曾經(jīng)幫助過我的老師們，感謝這樣一支愿意從事基礎(chǔ)科學(xué)研究的濟南大學(xué)畢業(yè)論文 25 數(shù)學(xué)系教師隊伍；還要感謝在數(shù)學(xué)領(lǐng)域辛勤踏實工作的人們，以及被我選中作為我畢業(yè)論文參考文獻的文章作者和各位數(shù)學(xué)前輩，你們是我的榜樣和楷模。在畢業(yè)論文的完成過程中,我的指導(dǎo)老師徐老師以治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn), 嚴(yán)格要求給了我深刻的印象,、定題開始，到論文任務(wù)書和開題報告,再到最后論文的反復(fù)修改、潤色，徐老師始終認(rèn)真負責(zé)地給予我深刻而細致地指導(dǎo)，耐心的為我解答論文寫作過程中遇到的種種問題,幫助我開拓研究思路，正是徐老師的無私幫助與耐心講解，她利用緊張忙碌的教學(xué)任務(wù)之余,利用個人休息時間幫我指點論文以及搜集外文翻譯資料。謝謝!四年大學(xué)，所收獲的不僅僅是愈加豐厚的知識，更重要的是在閱讀、實踐中所培養(yǎng)的思維方式、表達能力和廣闊視野。很慶幸這四年來我遇到了如此多的良師益友，無論在學(xué)習(xí)上、生活上，還是工作上，都給予了我無私的幫助和熱心的照顧，讓我在一個充滿溫馨的環(huán)境中度過四年的大學(xué)生活。感恩之情難以用言語量度，謹(jǐn)以最樸實的話語致以最崇高的敬意。最后要感謝的是我的父母，他們不僅培養(yǎng)了我對中國傳統(tǒng)文化的濃厚的興趣，讓我在漫長的人生旅途中使心靈有了虔敬的歸依，而且也為我能夠順利的完成畢業(yè)論文提供了巨大的支持與幫助。在未來的日子里，我會更加努力的學(xué)習(xí)和工作，不辜負父母對我的殷殷期望！“長風(fēng)破浪會有時，直掛云帆濟滄海。 ”這是我少年時最喜歡的詩句。就用這話作為這篇論文的一個結(jié)尾，也是一段生活的結(jié)束。希望自己能夠繼續(xù)少年時的夢想，永不放棄