【正文】 利用個人休息時間幫我指點論文以及搜集外文翻譯資料。希望自己能夠繼續(xù)少年時的夢想，永不放棄。最后要感謝的是我的父母，他們不僅培養(yǎng)了我對中國傳統(tǒng)文化的濃厚的興趣，讓我在漫長的人生旅途中使心靈有了虔敬的歸依，而且也為我能夠順利的完成畢業(yè)論文提供了巨大的支持與幫助。本文我們總結(jié)了不同于課本上證明泰勒公式的方法，并通過三個方面了解了泰勒公式的應(yīng)用。例 求 在點 處的各階導(dǎo)數(shù) 的值。當 的各階導(dǎo)數(shù)都存在時， 的泰勒級數(shù)在收斂情況下一定等于 ；()fx()fx ()fx但不論 的泰勒級數(shù)是否收斂，只要 有 階導(dǎo)數(shù)，就有泰勒公式成立，可1n?見泰勒級數(shù)收斂時，與泰勒公式結(jié)果一致，都是 。1=?又 ，且 ，由定理有() ()+limli[]0nnxxfxAB???????????(,)x????(0nx??。 ()1lim1)()()!nnx aafxx???????????????()注意到 時，有 得 ， x?()lim1)()0nnxaf Ax??????????()由 式知 存在，故由 式知 )li()xG???()li()xa????，lim(!xAan??????由 式與 式立得 式。+x????A?若 ，則由引理 有)i0??，()limli()nxxfA?????????其中 為當 時的無窮小量。(1)(1)()(1) (1)()k kxkk kkkxtddtxMx????????????由此不等式知 ，由數(shù)學(xué)歸納法知 1)成立。()(1)10000)lilililim()( !!nnnnmmmhffafafaa ??????????代入 中有 ，所以()g?(1))!nfg???(1) (1)00 0li()li()li()! !n nn nmmmfafaa m?? ??????。12n?再證()式成立。例 研究廣義積分 的斂散性。 泰勒公式在判別斂散性方面的應(yīng)用在級數(shù)斂散性理論中，要判定一個正項級數(shù) 是否收斂，通常找一個參考級1na???數(shù)： 級數(shù) ( )，根據(jù) 級數(shù)的斂散性來判定級數(shù) 的斂散性。 ()2()()()()1!!!nnnnnfzfzfzfxxxx??????????易知 。這就證明了帶有佩亞諾余項的泰勒公式，當 時可同理證明帶有麥克勞林公式0x?的泰勒公式。 020()3!()fxfKx???.8若 在鄰域 內(nèi)有三階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理有()fxD 。這樣 式變?yōu)?211())xK??12.) 。()fx?0()fx??? (0)()!nnfxR?其中 = ( )。(,)ab?()f???定理 [1]洛必達法則設(shè)函數(shù) 與 滿足下列條件:()fxF， ；(1)lim0xa??li()0xa??在點 的某去心鄰域內(nèi) 與 都存在且 ；2fx?()?()0Fx??存在或為無窮大；(3)li()/xafF??則 。 相關(guān)概念及定理 定義 [1]對于一般函數(shù) ，設(shè)它在點 存在直到 一個 次多項式n濟南大學(xué)畢業(yè)論文 4 ，則稱為函數(shù) 在()20220000()()() )1!!!nnnfxfxfxTxf?????????? f點 處的泰勒多項式， 的各項系數(shù) 稱為泰勒系數(shù)。 asymptotic behavior濟南大學(xué)畢業(yè)論文 2 目 錄摘要………………………………………………..…….….………….............IABSTRACT…………………………..………………………………………………..…II1 前言……….…………… ……………..……………………….……….…………… … ..1 引言………………………………………………………………………………..1 相關(guān)概念………........................................…… …….………….………...…….…..12 泰勒公式......................……..….………………………….…..….………….5 泰勒公式的幾種形式……...…………………………….………………………..5 泰勒公式的證明..………………………………….……………………..……… 63 泰勒公式的應(yīng)用………………………………………………………………….…….8 泰勒公式在計算行列式中的應(yīng)用..……….……….……………………………..8 泰勒公式在判別斂散性方面的應(yīng)用.…………………………...……………..…9 泰勒公式在判斷函數(shù)凸凹性中的應(yīng)用……..……………………………..…… 114 泰勒公式的“中間點”的漸近性…………………………………………………….12 當區(qū)間長度趨于零時“中間點” 的漸近性…………………………….……..12 當區(qū)間長度趨于無窮時“中間點” 的漸近性..………………….…………….125 泰勒公式與泰勒級數(shù)……………….…………………………………….… …………19 泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別…………..………………..…...………………….19 泰勒公式與泰勒級數(shù)的應(yīng)用…………………………………….……………...20結(jié)論......................……….………….……………………..….……...…..…. ………........22參考文獻......................…………….…………………..….…..……………….………….23致謝......................………………….……………………..…….…………...…………….24濟南大學(xué)畢業(yè)論文 3 1 前言 引言 泰勒公式在數(shù)學(xué)上占有非常重要的地位，近年來，關(guān)于泰勒公式的證明以及應(yīng)用的研究已經(jīng)引起國內(nèi)外很多學(xué)者的關(guān)注和思考，對于泰勒公式的證明， “中間點”的漸近性及利用泰勒定理判斷級數(shù)斂散性、判斷函數(shù)凹凸性，泰勒公式與泰勒級數(shù)之間的關(guān)系等方面的研究，都取得了一定的進展。Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。其次我們討論了泰勒公式的應(yīng)用問題，主要分析了泰勒公式在計算行列式，判斷級數(shù)斂散性，判斷函數(shù)凹凸性等方面的應(yīng)用，并輔以具體的例子進行說明，另外我們研究了泰勒公式中間點的漸近性問題，主要分區(qū)間長度趨于零和區(qū)間長度趨于無窮大兩種情況進行了討論，當區(qū)間長度趨于零與無窮時中間點 分別?滿足的條件 與 。Key words：Taylor formula。本文將系統(tǒng)地研究泰勒公式的若干問題，從泰勒公式的證明到泰勒公式的中間點的漸近性，最后再討論泰勒公式的應(yīng)用以及泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系等。39。nR0no定義 [1] 帶有 Lagrange 型余項的泰勒公式:函數(shù) 在含有 的某個開區(qū)間 內(nèi)具有直到 階導(dǎo)數(shù)，則對()fx0(,)ab1n?有 ,ab??f?0()f?0)fx???2200()!fx?? 00()!nnfx?+，()nRx其中 。0x()1?1()Rx則 。 20()Rxfx??()這樣 。這()fx0 1n?樣就自然地得到拉格朗日泰勒公式。例 求 階行列式n濟南大學(xué)畢業(yè)論文 10 。若 ，有 。1+(2na?????0a?解: ，x?lne2211+lln()xao?，1na?22ll!，1n??2211lln()!ao?因此 ，從而有 ， 是關(guān)于( )122()l()naao???02limln???0n1n的 2 與 同收斂。 11())nniiifxfx????()且等號成立當且僅當 ，并且由此證明當 ( )時，12nx?? 0ix?,2n?。有以下結(jié)果：定理 [5] 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 有直到 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且()fx??,(0)am??1n?， ，則由 Taylor 公式所確定的“中間點”()0nfaffa????? (1)0n??滿足等式 。()10())(1)!limknkxaxAn?????????????其中 為非零常數(shù)， 為實數(shù)， ， 。由次定理，得以下定