【正文】 子我們討論了泰勒公式在斂散性方面的應用，接下來我們討論泰勒公式在判斷函數(shù)凹凸性方面的應用。4(32)xxd????解: ，2(11) ()!o???? 1223()32(fxxxx????2 21919+()+()88oo?????????????????。我們通過一個具體的例子來進行說明。1+(2na?????0a?解: ，x?lne2211+lln()xao?，1na?22ll!，1n??2211lln()!ao?因此 ，從而有 ， 是關于( )122()l()naao???02limln???0n1n的 2 與 同收斂。為了有效地選取 中的 值，可以應用1na?? 1pn???泰勒公式研究通項 ( )的階，據(jù)此選取恰當?shù)?值使 ，并且保0n?limnpa??l?證 ，再由比較判定法(極限形式)就可判定 的斂散性，下面舉例說明之。在實際p1pn???0?p1n??應用中較困難是如何選取恰當?shù)?( 中的 值) ？例如1pn??0?p(1) 若 ，此時 收斂，但 ；2p?21n?2limna???(2) 若 ，此時 收斂，但 。接下來我們討論泰勒公式在判別級數(shù)及無窮積分斂散性方面的應用。若 ，有 。21???于是 在 處的各階導數(shù)(注意到公式 ) 為()nfxz?，21)(|())nnxznfffzy?????， 3(| (zz?… … … … ，111()()|()2())2nnxzff fznz?????? ?。 ()0000zyyzyDzy??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1()kzy?由()得， ， =1,2,…,n 時全都成立。其思路根據(jù)所求行列式的特點，構造相應的行列式函數(shù)，再把這個行列式函數(shù)按泰勒公式在某點展開)解：我們把行列式 看成 的函數(shù)，記 = ，則 在 的泰勒展開式nDx()nfxnD()nfxz?為 。例 求 階行列式n濟南大學畢業(yè)論文 10 。 泰勒公式在計算行列式中的應用 在代數(shù)學中，有關利用代數(shù)知識計算行列式的方法很多，但應用泰勒公式法極為少見，下面讓我們從泰勒公式入手，利用泰勒展開式計算行列式。濟南大學畢業(yè)論文 9 3 泰勒公式的應用 第 2 部分我們給出了泰勒公式的幾個基本形式及泰勒公式的證明，在此基礎上，我們利用泰勒公式來解決一些問題，這些問題利用其他的方法往往比較困難，而運用泰勒公式可以使問題變得簡單。 證明:設 ， ，()()nnRxfTx??0())nnQx??現(xiàn)在只需驗證明 0lim()xn?函數(shù) 在點 存在直到 階導數(shù)，又知?f易知()200 0000 00()()() )()1!!!n nnfxfxfxTxf x????????????， =0,1, ，因為 而()()00kknf ? n()000()()nnnRR????，(1)0nQxQx????? ()!x因為 存在，所以在點 的某鄰域 內(nèi) 存在 階導函數(shù) ，于是，()0f 0Uf1?()fx當 且 時，允許接連使用洛必達法則 次，得到oxU?0x?n000(1)()()limlilimnnnxxxRR????? = 0(1)(1)()0)li 2nnnxfffx??? = 0(1)(1)()00li[ ]!nnnxfffx??? =0。這()fx0 1n?樣就自然地得到拉格朗日泰勒公式。3?0x(). 31()Kf??！并代入 式，得32301()()!Rfx????7，230030()()()2!!fxfxfx?????????濟南大學畢業(yè)論文 8 仿此可推得，20221()()()2fxfxfx??????? ()01)()!nnfxRx??其中 ， 介于 與 之間。 030()()fxffx???????介于 與 之間。20221()()()2!fxfxfx??????30+()x為了確定 ,對上式兩邊關于 求二次導數(shù)，得2K 。 20()Rxfx??()這樣 。 020()()fxffx???????介于 與 之間。 20220()(()fxfxKx????()如何確定呢 對 式兩邊關于 求導，得1K?()x 。0f??20()x?0x? ， 待定。0x()1?1()Rx則 。證明：由拉格朗日中值定理知,若 在 的某鄰域 內(nèi)可導，則()yfx?0D,其中 介于 與 之間，即0()fx??10()fx???1?0 。()nR(1)1!nnf???以上，我們給出了泰勒公式的幾種形式，下面我們從拉格朗日中值定理出發(fā)，給出不同于課本上的證明泰勒公式的方法。0x?定義 [1] 麥克勞林公式(Maclaurin 公式)濟南大學畢業(yè)論文 6 。nR0no定義 [1] 帶有 Lagrange 型余項的泰勒公式:函數(shù) 在含有 的某個開區(qū)間 內(nèi)具有直到 階導數(shù)，則對()fx0(,)ab1n?有 ,ab??f?0()f?0)fx???2200()!fx?? 00()!nnfx?+，()nRx其中 。 泰勒公式的幾種形式在證明泰勒公式前，我們首先給出泰勒公式的幾種不同形式。li()/(xafFx?????濟南大學畢業(yè)論文 5 2 泰勒公式泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分逼近法的精髓，在微積分學及相關的領域的各個方面都有著重要的應用。00()!nnf?定理 [1]拉格朗日(Lagrange)中值定理若函數(shù) 滿足如下條件: 在閉區(qū)間 上連續(xù)； 在開區(qū)間 內(nèi)可f(1)f[,]ab(2)f(,)ab導；則在 內(nèi)至少存在一點 ,使得 。39。 20220 000()()()() . ()!!nnnfffxfxxxx??????稱為函數(shù) 在點 處的泰勒公式， 稱為泰勒公式的余項。0 ()nT()0!kf1,)??定義 [1]若函數(shù) 在點 存在直到 階導數(shù)，則有 = ，f0xn??fx0()nnTox??即，39。在本文的研究中主要用到以下基本概念和相關定理。本文將系統(tǒng)地研究泰勒公式的若干問題，從泰勒公式的證明到泰勒公式的中間點的漸近性，最后再討論泰勒公式的應用以及泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系等。在一般的《數(shù)學分析》中，僅給出了泰勒公式的證明以及在計算極值問題方面的應用，但在實際的生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會應用泰勒公式來解決一些實際問題，因此有必要對泰勒公式的若干問題進行深入研究。其中劉瑜 [3]給出了泰勒公式在階行列式計算中的應用問題；邱忠文 [5]討論了利用泰勒公式證明函數(shù)的凸凹性問n題；續(xù)鐵權 [8]討論了泰勒公式“中間點”當 的漸近性態(tài)問題；鮑春梅 [12]討論x??了當區(qū)間長度趨于零與無窮時“中間點” 的漸近性問題。determinant。Key words：Taylor formula。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 01lim1n??????and 1()lim[]!xan?????????。Secondly, we discuss the application of Taylor formula。關鍵詞：泰勒公式；斂散性；行列式；漸近性濟南大學畢業(yè)論文 1 ABSTRACTIn this paper，we discuss some problems of Taylor formula。其次我們討論了泰勒公式的應用問題，主要分析了泰勒公式在計算行列式，判斷級數(shù)斂散性，判斷函數(shù)凹凸性等方面的