【正文】 很慶幸這四年來(lái)我遇到了如此多的良師益友，無(wú)論在學(xué)習(xí)上、生活上，還是工作上，都給予了我無(wú)私的幫助和熱心的照顧，讓我在一個(gè)充滿溫馨的環(huán)境中度過(guò)四年的大學(xué)生活。25yx??對(duì)于形如 的方程，當(dāng) ， 可在 內(nèi)展為+()pyx????()px?Rx??的冪級(jí)數(shù)時(shí)，那么在 內(nèi)，必有形如 的解。 ()()11())!!nnnxpAfa????又 。00())!nnf?定理 [14] 在泰勒中值定理的假設(shè)條件下，再設(shè) ，且()lim=nxfA????濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 17 ， ,則泰勒中值定理中的中間點(diǎn) ，有漸近估計(jì)式(,)xa???()0nfx?(,)ax??，其中 為非零常數(shù)， 為實(shí)數(shù)， 且 。+h??0limn????證明: 令 。1(2)n?????21n?? 通過(guò)這個(gè)例子我們得到了利用泰勒公式可以判斷級(jí)數(shù)的斂散性，下面我們討論利用泰勒公式來(lái)判斷廣義積分的斂散性問(wèn)題。 ()nD?xyyzzx???? ? ? ? ??(注:此題可用代數(shù)知識(shí)的遞推法以及數(shù)學(xué)歸納法求解，但非常繁瑣，此題我們利用泰勒公式求解，達(dá)到簡(jiǎn)便的作用。 20221()()()()2!fxfxfxRx????????.7同樣可知， 與 為 時(shí)的同階無(wú)窮小，則 ，并代2()Rx30)?0x?3220())xKx?入 式，得(.7)。n?(1)10)!nnfx????在以上兩個(gè)定義中，如果我們?nèi)√厥獾?，則得到相應(yīng)的麥克勞林公式。對(duì)于泰勒公式的應(yīng)用太少，我們要研究的泰勒公式問(wèn)題，不僅要熟練應(yīng)用泰勒公式計(jì)算極值，還要研究泰勒公式在更多方面的作用，如當(dāng)“中間點(diǎn)”趨于零與無(wú)窮時(shí) 滿足的條件,利用泰勒公式計(jì)算行列式，利用泰勒公式證明函數(shù)凹凸性，以及?研究泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)之間的關(guān)系，更進(jìn)一步了解泰勒公式的性質(zhì)。最后討論了泰勒公式01lim1n??????1()lim[]!xan?????????與泰勒級(jí)數(shù)之間的關(guān)系以及泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)在計(jì)算方面的應(yīng)用。determinant。00()!nnf?定理 [1]拉格朗日(Lagrange)中值定理若函數(shù) 滿足如下條件: 在閉區(qū)間 上連續(xù)； 在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可f(1)f[,]ab(2)f(,)ab導(dǎo)；則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使得 。0f??20()x?0x? ， 待定。 證明:設(shè) ， ，()()nnRxfTx??0())nnQx??現(xiàn)在只需驗(yàn)證明 0lim()xn?函數(shù) 在點(diǎn) 存在直到 階導(dǎo)數(shù)，又知?f易知()200 0000 00()()() )()1!!!n nnfxfxfxTxf x????????????， =0,1, ，因?yàn)?而()()00kknf ? n()000()()nnnRR????，(1)0nQxQx????? ()!x因?yàn)?存在，所以在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi) 存在 階導(dǎo)函數(shù) ，于是，()0f 0Uf1?()fx當(dāng) 且 時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)法則 次，得到oxU?0x?n000(1)()()limlilimnnnxxxRR????? = 0(1)(1)()0)li 2nnnxfffx??? = 0(1)(1)()00li[ ]!nnnxfffx??? =0。接下來(lái)我們討論泰勒公式在判別級(jí)數(shù)及無(wú)窮積分?jǐn)可⑿苑矫娴膽?yīng)用。()f??01 1()()n ni iiffxfx???顯然()式中等號(hào)成立充分必要條件是: 。()linx???假定 ，則取 ，存在 ，當(dāng) 時(shí).()m)k??0M?max{0,}k kx?有， 于是當(dāng) 時(shí)，有()kxM??kx?。 ()()(1)lim()linxx A?????????由泰勒中值定理得 ()+1)!lim()linnxxfaG????????濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 18 。f0 泰勒公式中含有有限多項(xiàng)式，泰勒級(jí)數(shù)中含有無(wú)限多項(xiàng)式，泰勒公式不是泰勒級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)也不是泰勒多項(xiàng)式。結(jié) 論隨著數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家們研究出了許多的定理與公式,以便我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)疑難問(wèn)題時(shí)有多重的選擇。()fx0? 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)除了上面的應(yīng)用以外在概率的計(jì)算方面也有應(yīng)用，這里就不再贅述。 如果在定義 中抹去余項(xiàng) ，那么在 附近 可用定義 式右邊的多()nRx0xf項(xiàng)式來(lái)近似代替，如果函數(shù) 在 處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時(shí)稱形式為f0?。余下證明與 類似，故當(dāng) 時(shí)，有 。()10())(1)!limknkxaxAn?????????????其中 為非零常數(shù)， 為實(shí)數(shù)， ， 。 11())nniiifxfx????()且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) ，并且由此證明當(dāng) ( )時(shí)，12nx?? 0ix?,2n?。若 ，有 。這()fx0 1n?樣就自然地得到拉格朗日泰勒公式。0x()1?1()Rx則 。39。Key words：Taylor formula。Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。 相關(guān)概念及定理 定義 [1]對(duì)于一般函數(shù) ，設(shè)它在點(diǎn) 存在直到 一個(gè) 次多項(xiàng)式n濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 4 ，則稱為函數(shù) 在()20220000()()() )1!!!nnnfxfxfxTxf?????????? f點(diǎn) 處的泰勒多項(xiàng)式， 的各項(xiàng)系數(shù) 稱為泰勒系數(shù)。()fx?0()fx??? (0)()!nnfxR?其中 = ( )。 020()3!()fxfKx???.8若 在鄰域 內(nèi)有三階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理有()fxD 。 ()2()()()()1!!!nnnnnfzfzfzfxxxx??????????易知 。例 研究廣義積分 的斂散性。()(1)10000)lilililim()( !!nnnnmmmhffafafaa ??????????代入 中有 ，所以()g?(1))!nfg???(1) (1)00 0li()li()li()! !n nn nmmmfafaa m?? ??????。+x????A?若 ，則由引理 有)i0??，()limli()nxxfA?????????其中 為當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小量。1=?又 ，且 ，由定理有() ()+limli[]0nnxxfxAB???????????(,)x????(0nx??。例 求 在點(diǎn) 處的各階導(dǎo)數(shù) 的值。最后要感謝的是我的父母，他們不僅培養(yǎng)了我對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化的濃厚的興趣，讓我在漫長(zhǎng)的人生旅途中使心靈有了虔敬的歸依，而且也為我能夠順利的完成畢業(yè)論文提供了巨大的支持與幫助。在畢業(yè)論文的完成過(guò)程中,我的指導(dǎo)老師徐老師以治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn), 嚴(yán)格要求給了我深刻的印象,、定題開(kāi)始，到論文任務(wù)書和開(kāi)題報(bào)告,再到最后論文的反復(fù)修改、潤(rùn)色，徐老師始終認(rèn)真負(fù)責(zé)地給予我深刻而細(xì)致地指導(dǎo)，耐心的為我解答論文寫作過(guò)程中遇到的種種問(wèn)題,幫助我開(kāi)拓研究思路，正是徐老師的無(wú)私幫助與耐心講解，她利用緊張忙碌的教學(xué)任務(wù)之余,利用個(gè)人休息時(shí)間幫我指點(diǎn)論文以及搜集外文翻譯資料。? n? 201nyaxax???? ?例 求方程 ，滿足 的特解。(=li 0nxf????()lim[]0nxfxAB????????令 ，則 與 應(yīng)用泰勒中值定()()!nAfa??()10()!knkfapx???()?f理可取到相同的中間點(diǎn) .事實(shí)上，對(duì)于 。定理 [1] 設(shè) 在[ 有 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于任意 ，必存在()f,)an(,)xa???，使(,)ax??2022()(!fxffx????????? 1100()!nnf??。 當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨于零時(shí)的“中間點(diǎn)”的漸近性濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 15 首先我們討論區(qū)間長(zhǎng)度趨于零時(shí)的情況。0l???1na??濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 12 例 判定級(jí)數(shù) ( )的斂散性。首先看一個(gè)具體的例子。2?0x由 和 式得 ，(.4).512()!Kf???。定義 [1] 帶有 Peano 型余項(xiàng)的泰勒公式:函數(shù) 在， 上具有 階導(dǎo)數(shù),()fx[,]abn則 有