泰勒公式的若干問題研究畢業(yè)論文-閱讀頁
2025-07-08 01:12本頁面
【正文】 ?z?()())nnnzxyzf??以上我們就討論了泰勒公式的在計(jì)算行列式方面的應(yīng)用，特別是利用泰勒公式求解行列式這一方法在高等代數(shù)中沒有介紹過，從而使行列式的求解又多了一種新方法，也為數(shù)學(xué)分析研究高等代數(shù)問題做了一個(gè)初步探索，以便為高等代數(shù)的教學(xué)起到促進(jìn)作用。 泰勒公式在判別斂散性方面的應(yīng)用在級數(shù)斂散性理論中，要判定一個(gè)正項(xiàng)級數(shù) 是否收斂，通常找一個(gè)參考級1na???數(shù)： 級數(shù) ( )，根據(jù) 級數(shù)的斂散性來判定級數(shù) 的斂散性。1n???li1n?0? 這里我們無法判定 的斂散性。0l???1na??濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 12 例 判定級數(shù) ( )的斂散性。1(2)n?????21n?? 通過這個(gè)例子我們得到了利用泰勒公式可以判斷級數(shù)的斂散性，下面我們討論利用泰勒公式來判斷廣義積分的斂散性問題。例 研究廣義積分 的斂散性。32()4x???因此 ，即 是 。濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 13 泰勒公式在判斷函數(shù)凹凸性的應(yīng)用例 若 二次可微，且 ，證明不等式()fx()0fx? 。 ()12nx??? ?證明: 令 ， ，則 ，由泰勒公式得:01ix?0iixh?0(1,2)iixhn???，2022()()()i iiffff???0(,)iix??? ()2022 11()n nni i ii ifxffxhfh? ??? ???0()f?21niifh???因?yàn)?，因此有 即()成立。12n?再證()式成立。11()ln()ni ifx???因此有 所以 ，即()式成立。 當(dāng)區(qū)間長度趨于零時(shí)的“中間點(diǎn)”的漸近性濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 15 首先我們討論區(qū)間長度趨于零時(shí)的情況。+h??0limn????證明: 令 。()(1)10000)lilililim()( !!nnnnmmmhffafafaa ??????????代入 中有 ，所以()g?(1))!nfg???(1) (1)00 0li()li()li()! !n nn nmmmfafaa m?? ??????。0li1nm???01linma?????? 下面討論當(dāng)區(qū)間長度趨于無窮時(shí)的情況。li()xf?? 引理 [6] 設(shè) 在 有 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且 ，則?[,anlim()nxA??????1)當(dāng) 時(shí)， ；A0?()limix?????2)當(dāng) 時(shí)， ；()i濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 16 3) 。A?0,2,1in?? 證明:1)由條件存在 .當(dāng) 時(shí)有 ，于是當(dāng) 時(shí)1max{}?1x?()2Ax????1x?有=1 1(1)(1)()(1)2x rnnnnxAxtdtd?????????????(1) 1())nxx????由此不等式知 。(1)(1)()(1) (1)()k kxkk kkkxtddtxMx????????????由此不等式知 ，由數(shù)學(xué)歸納法知 1)成立。3)令 則 ，由引理 2，連續(xù) 次應(yīng)()10())!knkaFx????()+limnxFxA????n用洛必達(dá)法則，并注意到 ，便得((1)()???????? ，即為 3）中的結(jié)論。定理 [1] 設(shè) 在[ 有 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對于任意 ，必存在()f,)an(,)xa???，使(,)ax??2022()(!fxffx????????? 1100()!nnf??。00())!nnf?定理 [14] 在泰勒中值定理的假設(shè)條件下，再設(shè) ，且()lim=nxfA????濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 17 ， ,則泰勒中值定理中的中間點(diǎn) ，有漸近估計(jì)式(,)xa???()0nfx?(,)ax??，其中 為非零常數(shù)， 為實(shí)數(shù)， 且 。+x????A?若 ，則由引理 有)i0??，()limli()nxxfA?????????其中 為當(dāng) 時(shí)的無窮小量。由泰勒中值定理并連續(xù) 次應(yīng)用洛必達(dá)法則則有()limix????,2,i? 。??若 ，則由引理 ，有 ，從而 )i0??()11limlinxxfA?????????。()()+11limlinnxxff??????)ix?????其次，作輔助函數(shù) ，()nGxFx????由引理 有 。 ()1lim1)()()!nnx aafxx???????????????()注意到 時(shí)，有 得 ， x?()lim1)()0nnxaf Ax??????????()由 式知 存在，故由 式知 )li()xG???()li()xa????，lim(!xAan??????由 式與 式立得 式。但我們有0?定理 [14] 在定理 中的條件下，若 ，再設(shè) ，且=0?()lim[]nxfxAB??????， ，則泰勒中值定理中的中間點(diǎn) .有漸近估計(jì)式(,)xa????()0nfxA??,a??。(=li 0nxf????()lim[]0nxfxAB????????令 ，則 與 應(yīng)用泰勒中值定()()!nAfa??()10()!knkfapx???()?f理可取到相同的中間點(diǎn) .事實(shí)上，對于 。 ()()11())!!nnnxpAfa????又 。1=?又 ，且 ，由定理有() ()+limli[]0nnxxfxAB???????????(,)x????(0nx??。?5 泰勒公式與泰勒級數(shù) 泰勒公式和泰勒級數(shù)在解決實(shí)際問題中有某些的相似性,但是它們引入不同,因此還是有一定的差異性，由于泰勒公式是通過重復(fù)運(yùn)用柯西中值定理得來的,過程比濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 20 較復(fù)雜,泰勒級數(shù)屬于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中的冪級數(shù),與泰勒公式類似在近似計(jì)算、極限運(yùn)算、級數(shù)與廣義積分的斂散性判斷等方面也有具體應(yīng)用。 泰勒級數(shù)與泰勒公式的區(qū)別 首先我們討論泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別。2022 00()()()()!!nnxfxfxfx????????? ??的級數(shù)為函數(shù) 在 的泰勒級數(shù)。當(dāng) 的各階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)， 的泰勒級數(shù)在收斂情況下一定等于 ；()fx()fx ()fx但不論 的泰勒級數(shù)是否收斂，只要 有 階導(dǎo)數(shù)，就有泰勒公式成立，可1n?見泰勒級數(shù)收斂時(shí)，與泰勒公式結(jié)果一致，都是 。(x特別，當(dāng) 是 的 次多項(xiàng)式，將 展成 的多項(xiàng)式，在初等數(shù)學(xué)中，)fn()fx0)x?只能采用待定系數(shù)法，在高等數(shù)學(xué)中，當(dāng)學(xué)了泰勒公式后，我們可以先求出 ，0()fx， ， ， ， ，再按泰勒公式展成 的多項(xiàng)式形式0()fx?0()f?? 0()nfx? 0()x。? n? 201nyaxax???? ?例 求方程 ，滿足 的特解。25yx??對于形如 的方程，當(dāng) ， 可在 內(nèi)展為+()pyx????()px?Rx??的冪級數(shù)時(shí)，那么在 內(nèi)，必有形如 的解。例 求 在點(diǎn) 處的各階導(dǎo)數(shù) 的值。32 23 )1nnx?? 0?則 的麥克勞林公式為()fx471034363()()1nnfxx????????， 。(34)0(1)34!kkf????0,12k?而 在 處的其他各階導(dǎo)數(shù)為零?？傊├展脚c泰勒級數(shù)的應(yīng)用范圍相當(dāng)?shù)膹V泛，巧妙合理的利用泰勒公式與泰勒級數(shù)，可以解決一些較難解決的高階導(dǎo)問題，在其他方面的應(yīng)用有待于我們進(jìn)一步地研究和探討。本文我們總結(jié)了不同于課本上證明泰勒公式的方法，并通過三個(gè)方面了解了泰勒公式的應(yīng)用。泰勒公式在各個(gè)學(xué)科中也有廣濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 23 泛的應(yīng)用，如果能很好的應(yīng)用它來解題，會(huì)使更多的人能更好的學(xué)好數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域會(huì)發(fā)展的更好。在畢業(yè)論文的完成過程中,我的指導(dǎo)老師徐老師以治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn), 嚴(yán)格要求給了我深刻的印象,、定題開始，到論文任務(wù)書和開題報(bào)告,再到最后論文的反復(fù)修改、潤色，徐老師始終認(rèn)真負(fù)責(zé)地給予我深刻而細(xì)致地指導(dǎo)，耐心的為我解答論文寫作過程中遇到的種種問題,幫助我開拓研究思路，正是徐老師的無私幫助與耐心講解，她利用緊張忙碌的教學(xué)任務(wù)之余,利用個(gè)人休息時(shí)間幫我指點(diǎn)論文以及搜集外文翻譯資料。很慶幸這四年來我遇到了如此多的良師益友，無論在學(xué)習(xí)上、生活上，還是工作上，都給予了我無私的幫助和熱心的照顧，讓我在一個(gè)充滿溫馨的環(huán)境中度過四年的大學(xué)生活。最后要感謝的是我的父母，他們不僅培養(yǎng)了我對中國傳統(tǒng)文化的濃厚的興趣，讓我在漫長的人生旅途中使心靈有了虔敬的歸依，而且也為我能夠順利的完成畢業(yè)論文提供了巨大的支持與幫助。 ”這是我少年時(shí)最喜歡的詩句。希望自己能夠繼續(xù)少年時(shí)的夢想，永不放
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