【正文】 [,]xab??，()f?0f?0()fx???2200()!fx?+? 00()!nnfx??()Rx其中 。n?(1)10)!nnfx????在以上兩個定義中，如果我們?nèi)√厥獾?，則得到相應(yīng)的麥克勞林公式。()fx?0()fx??? (0)()!nnfxR?其中 = ( )。 泰勒公式的證明 下面我們首先討論帶有 Lagrange 型余項的泰勒公式的證明問題，主要是根據(jù)拉格朗日中值定理來討論泰勒公式的證明。 010()()fxfx????2.若將 代替 式中的 ，則產(chǎn)生誤差記為 。 001()()()fxfRx?????2.現(xiàn)在問， 的具體形式是什么?1()Rx當(dāng) 時，由洛必達法則知 與 為當(dāng) 時的同階無窮小。這樣 式變?yōu)?211())xK??12.) 。 010()2()fxfK?????()濟南大學(xué)畢業(yè)論文 7 若函數(shù) 在鄰域 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理，有()fxD 。2?0x由 和 式得 ，(.4).512()!Kf???。 20221()()()()2!fxfxfxRx????????.7同樣可知， 與 為 時的同階無窮小，則 ，并代2()Rx30)?0x?3220())xKx?入 式，得(.7)。 020()3!()fxfKx???.8若 在鄰域 內(nèi)有三階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理有()fxD 。由 和 式知 。(1)10(!nnnRf???0從整體推導(dǎo)過程可知，函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)必須具有 至 階導(dǎo)數(shù)才行。 下面我們用一種不同的方法證明帶有佩亞諾余項的泰勒公式。這就證明了帶有佩亞諾余項的泰勒公式，當(dāng) 時可同理證明帶有麥克勞林公式0x?的泰勒公式。下面我們研究泰勒公式的應(yīng)用問題，主要包括在計算行列式，利用泰勒公式證明斂散性，判斷函數(shù)的凹凸性等方面的應(yīng)用。首先看一個具體的例子。 ()nD?xyyzzx???? ? ? ? ??(注:此題可用代數(shù)知識的遞推法以及數(shù)學(xué)歸納法求解，但非常繁瑣，此題我們利用泰勒公式求解，達到簡便的作用。 ()2()()()()1!!!nnnnnfzfzfzfxxxx??????????易知 。 1())kkfzy??()根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則，有 ， ，… ，1()()nnfxf???12()()nnfxfx???， (因為 )。()n???把以上各導(dǎo)數(shù)代入() 式中，有濟南大學(xué)畢業(yè)論文 11 12 32(1)())()()()!!nn nn nfxzyzyxzzyxz?? ???????,12()n n?? ?若 ，有 。zy???1()()nnfxyxy??