【正文】 理。余下證明與 類似，故當(dāng) 時(shí)，有 。使?(x?1(,)ax?? 。 如果在定義 中抹去余項(xiàng) ，那么在 附近 可用定義 式右邊的多()nRx0xf項(xiàng)式來近似代替，如果函數(shù) 在 處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時(shí)稱形式為f0?。=dyx2x解：設(shè) 012na???? ?因?yàn)?，所以 ,0xy所以 ，21nx? ? 112nyaxa????? ?將 ， 代入原方程得y?12212 1()n naxaxx???? ? ? ?= +3241213()a5423a??比較同次冪系數(shù)，得， ， ， ， ，10a?2231?4122513?61423aa??， ， ， ， ， ，?0a40a?6?從而， 。()fx0? 泰勒公式與泰勒級數(shù)除了上面的應(yīng)用以外在概率的計(jì)算方面也有應(yīng)用，這里就不再贅述。謝謝!四年大學(xué)，所收獲的不僅僅是愈加豐厚的知識，更重要的是在閱讀、實(shí)踐中所培養(yǎng)的思維方式、表達(dá)能力和廣闊視野。感恩之情難以用言語量度，謹(jǐn)以最樸實(shí)的話語致以最崇高的敬意。結(jié) 論隨著數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家們研究出了許多的定理與公式,以便我們在解決數(shù)學(xué)疑難問題時(shí)有多重的選擇。xR,（ ） 0nya???我們接下來利用泰勒公式求解。f0 泰勒公式中含有有限多項(xiàng)式，泰勒級數(shù)中含有無限多項(xiàng)式，泰勒公式不是泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)也不是泰勒多項(xiàng)式。 ()())()()!nnAfxxpax????()()!!nnfpxfAa????由()與()式可取 。 ()()(1)lim()linxx A?????????由泰勒中值定理得 ()+1)!lim()linnxxfaG????????濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 18 。1lim[]!()x ???????A?1?0??證明:首先證明當(dāng) 時(shí)，有 ，為此不妨設(shè) 。()linx???假定 ，則取 ，存在 ，當(dāng) 時(shí).()m)k??0M?max{0,}k kx?有， 于是當(dāng) 時(shí)，有()kxM??kx?。則由拉格朗日公式得1()(()nfafg???。()f??01 1()()n ni iiffxfx???顯然()式中等號成立充分必要條件是: 。我們通過一個(gè)具體的例子來進(jìn)行說明。接下來我們討論泰勒公式在判別級數(shù)及無窮積分?jǐn)可⑿苑矫娴膽?yīng)用。其思路根據(jù)所求行列式的特點(diǎn)，構(gòu)造相應(yīng)的行列式函數(shù)，再把這個(gè)行列式函數(shù)按泰勒公式在某點(diǎn)展開)解：我們把行列式 看成 的函數(shù)，記 = ，則 在 的泰勒展開式nDx()nfxnD()nfxz?為 。 證明:設(shè) ， ，()()nnRxfTx??0())nnQx??現(xiàn)在只需驗(yàn)證明 0lim()xn?函數(shù) 在點(diǎn) 存在直到 階導(dǎo)數(shù)，又知?f易知()200 0000 00()()() )()1!!!n nnfxfxfxTxf x????????????， =0,1, ，因?yàn)?而()()00kknf ? n()000()()nnnRR????，(1)0nQxQx????? ()!x因?yàn)?存在，所以在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi) 存在 階導(dǎo)函數(shù) ，于是，()0f 0Uf1?()fx當(dāng) 且 時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)法則 次，得到oxU?0x?n000(1)()()limlilimnnnxxxRR????? = 0(1)(1)()0)li 2nnnxfffx??? = 0(1)(1)()00li[ ]!nnnxfffx??? =0。20221()()()2!fxfxfx??????30+()x為了確定 ,對上式兩邊關(guān)于 求二次導(dǎo)數(shù)，得2K 。0f??20()x?0x? ， 待定。0x?定義 [1] 麥克勞林公式(Maclaurin 公式)濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 6 。00()!nnf?定理 [1]拉格朗日(Lagrange)中值定理若函數(shù) 滿足如下條件: 在閉區(qū)間 上連續(xù)； 在開區(qū)間 內(nèi)可f(1)f[,]ab(2)f(,)ab導(dǎo)；則在 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使得 。在本文的研究中主要用到以下基本概念和相關(guān)定理。determinant。關(guān)鍵詞：泰勒公式；斂散性；行列式；漸近性濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 1 ABSTRACTIn this paper，we discuss some problems of Taylor formula。最后討論了泰勒公式01lim1n??????1()lim[]!xan?????????與泰勒級數(shù)之間的關(guān)系以及泰勒公式與泰勒級數(shù)在計(jì)算方面的應(yīng)用。 convergence。對于泰勒公式的應(yīng)用太少，我們要研究的泰勒公式問題，不僅要熟練應(yīng)用泰勒公式計(jì)算極值，還要研究泰勒公式在更多方面的作用，如當(dāng)“中間點(diǎn)”趨于零與無窮時(shí) 滿足的條件,利用泰勒公式計(jì)算行列式，利用泰勒公式證明函數(shù)凹凸性，以及?研究泰勒公式與泰勒級數(shù)之間的關(guān)系，更進(jìn)一步了解泰勒公式的性質(zhì)。 20220 00()()()() .!!nnfxfxfxfx?????????其中 ，稱為拉格朗日余項(xiàng)，以上函數(shù)展開式稱為泰勒級數(shù)。n?(1)10)!nnfx????在以上兩個(gè)定義中，如果我們?nèi)√厥獾?，則得到相應(yīng)的麥克勞林公式。 001()()()fxfRx?????2.現(xiàn)在問， 的具體形式是什么?1()Rx當(dāng) 時(shí)，由洛必達(dá)法則知 與 為當(dāng) 時(shí)的同階無窮小。 20221()()()()2!fxfxfxRx????????.7同樣可知， 與 為 時(shí)的同階無窮小，則 ，并代2()Rx30)?0x?3220())xKx?入 式，得(.7)。 下面我們用一種不同的方法證明帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式。 ()nD?xyyzzx???? ? ? ? ??(注:此題可用代數(shù)知識的遞推法以及數(shù)學(xué)歸納法求解，但非常繁瑣，此題我們利用泰勒公式求解，達(dá)到簡便的作用。zy???1()()nnfxyxy???z?()())nnnzxyzf??以上我們就討論了泰勒公式的在計(jì)算行列式方面的應(yīng)用，特別是利用泰勒公式求解行列式這一方法在高等代數(shù)中沒有介紹過，從而使行列式的求解又多了一種新方法，也為數(shù)學(xué)分析研究高等代數(shù)問題做了一個(gè)初步探索，以便為高等代數(shù)的教學(xué)起到促進(jìn)作用。1(2)n?????21n?? 通過這個(gè)例子我們得到了利用泰勒公式可以判斷級數(shù)的斂散性，下面我們討論利用泰勒公式來判斷廣義積分的斂散性問題。 ()12nx??? ?證明: 令 ， ，則 ，由泰勒公式得:01ix?0iixh?0(1,2)iixhn???，2022()()()i iiffff???0(,)iix??? ()2022 11()n nni i ii ifxffxhfh? ??? ???0()f?21niifh???因?yàn)?，因此有 即()成立。+h??0limn????證明: 令 。A?0,2,1in?? 證明:1)由條件存在 .當(dāng) 時(shí)有 ，于是當(dāng) 時(shí)1max{}?1x?()2Ax????1x?有=1 1(1)(1)()(1)2x rnnnnxAxtdtd?????????????(1) 1())nxx????由此不等式知 。00())!nnf?定理 [14] 在泰勒中值定理的假設(shè)條件下，再設(shè) ，且()lim=nxfA????濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 17 ， ,則泰勒中值定理中的中間點(diǎn) ，有漸近估計(jì)式(,)xa???()0nfx?(,)ax??，其中 為非零常數(shù)， 為實(shí)數(shù)， 且 。()()+11limlinnxxff??????)ix?????其次，作輔助函數(shù) ，()nGxFx????由引理 有 。 ()()11())!!nnnxpAfa????又 。2022 00()()()()!!nnxfxfxfx????????? ??的級數(shù)為函數(shù) 在 的泰勒級數(shù)。25yx??對于形如 的方程，當(dāng) ， 可在 內(nèi)展為+()pyx????()px?Rx??的冪級數(shù)時(shí)，那么在 內(nèi)，必有形如 的解。總之，泰勒公式與泰勒級數(shù)的應(yīng)用范圍相當(dāng)?shù)膹V泛，巧妙合理的利用泰勒公式與泰勒級數(shù)，可以解決一些較難解決的高階導(dǎo)問題，在其他方面的應(yīng)用有待于我們進(jìn)一步地研究和探討。很慶幸這四年來我遇到了如此多的良師益友，無論在學(xué)習(xí)上、生活上，還是工作上，都給予了我無私的幫助和熱心的照顧，讓我在一個(gè)充滿溫馨的環(huán)境中度過四年的大學(xué)生