泰勒公式的若干問(wèn)題研究畢業(yè)論文-免費(fèi)閱讀
【正文】 ”這是我少年時(shí)最喜歡的詩(shī)句。泰勒公式在各個(gè)學(xué)科中也有廣濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 23 泛的應(yīng)用，如果能很好的應(yīng)用它來(lái)解題，會(huì)使更多的人能更好的學(xué)好數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域會(huì)發(fā)展的更好。32 23 )1nnx?? 0?則 的麥克勞林公式為()fx471034363()()1nnfxx????????， 。(x特別，當(dāng) 是 的 次多項(xiàng)式，將 展成 的多項(xiàng)式，在初等數(shù)學(xué)中，)fn()fx0)x?只能采用待定系數(shù)法，在高等數(shù)學(xué)中，當(dāng)學(xué)了泰勒公式后，我們可以先求出 ，0()fx， ， ， ， ，再按泰勒公式展成 的多項(xiàng)式形式0()fx?0()f?? 0()nfx? 0()x。?5 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù) 泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中有某些的相似性,但是它們引入不同,因此還是有一定的差異性，由于泰勒公式是通過(guò)重復(fù)運(yùn)用柯西中值定理得來(lái)的,過(guò)程比濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 20 較復(fù)雜,泰勒級(jí)數(shù)屬于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中的冪級(jí)數(shù),與泰勒公式類似在近似計(jì)算、極限運(yùn)算、級(jí)數(shù)與廣義積分的斂散性判斷等方面也有具體應(yīng)用。但我們有0?定理 [14] 在定理 中的條件下，若 ，再設(shè) ，且=0?()lim[]nxfxAB??????， ，則泰勒中值定理中的中間點(diǎn) .有漸近估計(jì)式(,)xa????()0nfxA??,a??。由泰勒中值定理并連續(xù) 次應(yīng)用洛必達(dá)法則則有()limix????,2,i? 。3)令 則 ，由引理 2，連續(xù) 次應(yīng)()10())!knkaFx????()+limnxFxA????n用洛必達(dá)法則，并注意到 ，便得((1)()???????? ，即為 3）中的結(jié)論。0li1nm???01linma?????? 下面討論當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨于無(wú)窮時(shí)的情況。11()ln()ni ifx???因此有 所以 ，即()式成立。32()4x???因此 ，即 是 。1n???li1n?0? 這里我們無(wú)法判定 的斂散性。 1())kkfzy??()根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則，有 ， ，… ，1()()nnfxf???12()()nnfxfx???， (因?yàn)?)。下面我們研究泰勒公式的應(yīng)用問(wèn)題，主要包括在計(jì)算行列式，利用泰勒公式證明斂散性，判斷函數(shù)的凹凸性等方面的應(yīng)用。由 和 式知 。 010()2()fxfK?????()濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 7 若函數(shù) 在鄰域 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理，有()fxD 。 泰勒公式的證明 下面我們首先討論帶有 Lagrange 型余項(xiàng)的泰勒公式的證明問(wèn)題，主要是根據(jù)拉格朗日中值定理來(lái)討論泰勒公式的證明。本部分在現(xiàn)行教材對(duì)泰勒公式證明的基礎(chǔ)上，研究泰勒公式的一種新的更為簡(jiǎn)單的證明方法。39。鮑培文 [5]給出了泰勒公?式與泰勒級(jí)數(shù)的異同和典型應(yīng)用問(wèn)題。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function bined with concrete example to explain。畢 業(yè) 論 文題 目 泰勒公式的若干問(wèn)題研究 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí) 計(jì)算 0901 學(xué) 生 呂晗 學(xué) 號(hào) 20220921073 指導(dǎo)教師 徐美榮 二〇一三年 五 月二十五日摘 要 本文探討了泰勒公式的若干問(wèn)題。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 01lim1n??????and 1()lim[]!xan?????????。在一般的《數(shù)學(xué)分析》中，僅給出了泰勒公式的證明以及在計(jì)算極值問(wèn)題方面的應(yīng)用，但在實(shí)際的生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)應(yīng)用泰勒公式來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，因此有必要對(duì)泰勒公式的若干問(wèn)題進(jìn)行深入研究。 20220 000()()()() . ()!!nnnfffxfxxxx??????稱為函數(shù) 在點(diǎn) 處的泰勒公式， 稱為泰勒公式的余項(xiàng)。 泰勒公式的幾種形式在證明泰勒公式前，我們首先給出泰勒公式的幾種不同形式。證明：由拉格朗日中值定理知,若 在 的某鄰域 內(nèi)可導(dǎo)，則()yfx?0D,其中 介于 與 之間，即0()fx??10()fx???1?0 。 020()()fxffx???????介于 與 之間。3?0x(). 31()Kf??！并代入 式，得32301()()!Rfx????7，230030()()()2!!fxfxfx?????????濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 8 仿此可推得，20221()()()2fxfxfx??????? ()01)()!nnfxRx??其中 ， 介于 與 之間。 泰勒公式在計(jì)算行列式中的應(yīng)用 在代數(shù)學(xué)中，有關(guān)利用代數(shù)知識(shí)計(jì)算行列式的方法很多，但應(yīng)用泰勒公式法極為少見(jiàn)，下面讓我們從泰勒公式入手，利用泰勒展開(kāi)式計(jì)算行列式。21???于是 在 處的各階導(dǎo)數(shù)(注意到公式 ) 為()nfxz?，21)(|())nnxznfffzy?????， 3(| (zz?… … … … ，111()()|()2())2nnxzff fznz?????? ?。為了有效地選取 中的 值，可以應(yīng)用1na?? 1pn???泰勒公式研究通項(xiàng) ( )的階，據(jù)此選取恰當(dāng)?shù)?值使 ，并且保0n?limnpa??l?證 ，再由比較判定法(極限形式)就可判定 的斂散性，下面舉例說(shuō)明之。32()9lim1nfx???()0f1()x??? 通過(guò)上面兩個(gè)例子我們討論了泰勒公式在斂散性方面的應(yīng)用，接下來(lái)我們討論泰勒公式在判斷函數(shù)凹凸性方面的應(yīng)用。121l()l()nni??? 121nnixx???濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 14 4 泰勒公式“中間點(diǎn)”的漸近性我們知道,一般的《數(shù)學(xué)分析》教材中對(duì)于帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的“中間點(diǎn)” ，只是肯定了“中間點(diǎn)”的存在性，但沒(méi)有研究“中間點(diǎn)” 的性質(zhì)，本部分?我們研究泰勒公式“中間點(diǎn)” 的漸近性問(wèn)題，主要分區(qū)間長(zhǎng)度趨于零與區(qū)間長(zhǎng)度?趨于無(wú)窮進(jìn)行討論。 當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨于無(wú)窮時(shí)的“中間點(diǎn)”的漸近性 為了研究區(qū)間長(zhǎng)度趨于無(wú)窮時(shí)中間點(diǎn)的漸近性，我們首先給出兩個(gè)引理： 引理 [1] 設(shè) ， ，則lim()xf????0li()xgA??1)當(dāng) 時(shí)， ；A0?g?2)當(dāng) 時(shí)， 。+()(1)limnx??????()li()nxFx??????基于以上引理我們得到以下中間點(diǎn)的漸近性結(jié)論。 ()() ()()+!()lilimlilimn nnnxxxxFf fa???????????若存在 .使 .則由于 在 上連續(xù)，所以必存在 ，ba?b?()f[,]ab0[,]xab?使 從而 .這是矛盾的，故當(dāng) 時(shí)，()()0nnfxf??()()0linnxf???? ??有 。其中 為非零常數(shù)， 為實(shí)數(shù)， .1lim[]!()x ???????B?1?證明:因?yàn)?， ，故 。接下來(lái)我們具體探討泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系以及泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題。2022 011()+()2()2nnfffxfxn????????? ??? ? 泰勒級(jí)數(shù)與泰勒公式的應(yīng)用濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 21 對(duì)于一階微分方程， 若 為關(guān)于 ， 的多項(xiàng)式，則可設(shè)其通=(,)dyfx(,)fyxy解為 將 及 代入,比較同次冪的系數(shù)，
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