【正文】 ”這是我少年時最喜歡的詩句。泰勒公式在各個學(xué)科中也有廣濟南大學(xué)畢業(yè)論文 23 泛的應(yīng)用，如果能很好的應(yīng)用它來解題，會使更多的人能更好的學(xué)好數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域會發(fā)展的更好。32 23 )1nnx?? 0?則 的麥克勞林公式為()fx471034363()()1nnfxx????????， 。(x特別，當(dāng) 是 的 次多項式，將 展成 的多項式，在初等數(shù)學(xué)中，)fn()fx0)x?只能采用待定系數(shù)法，在高等數(shù)學(xué)中，當(dāng)學(xué)了泰勒公式后，我們可以先求出 ，0()fx， ， ， ， ，再按泰勒公式展成 的多項式形式0()fx?0()f?? 0()nfx? 0()x。?5 泰勒公式與泰勒級數(shù) 泰勒公式和泰勒級數(shù)在解決實際問題中有某些的相似性,但是它們引入不同,因此還是有一定的差異性，由于泰勒公式是通過重復(fù)運用柯西中值定理得來的,過程比濟南大學(xué)畢業(yè)論文 20 較復(fù)雜,泰勒級數(shù)屬于函數(shù)項級數(shù)中的冪級數(shù),與泰勒公式類似在近似計算、極限運算、級數(shù)與廣義積分的斂散性判斷等方面也有具體應(yīng)用。但我們有0?定理 [14] 在定理 中的條件下，若 ，再設(shè) ，且=0?()lim[]nxfxAB??????， ，則泰勒中值定理中的中間點 .有漸近估計式(,)xa????()0nfxA??,a??。由泰勒中值定理并連續(xù) 次應(yīng)用洛必達法則則有()limix????,2,i? 。3)令 則 ，由引理 2，連續(xù) 次應(yīng)()10())!knkaFx????()+limnxFxA????n用洛必達法則，并注意到 ，便得((1)()???????? ，即為 3）中的結(jié)論。0li1nm???01linma?????? 下面討論當(dāng)區(qū)間長度趨于無窮時的情況。11()ln()ni ifx???因此有 所以 ，即()式成立。32()4x???因此 ，即 是 。1n???li1n?0? 這里我們無法判定 的斂散性。 1())kkfzy??()根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則，有 ， ，… ，1()()nnfxf???12()()nnfxfx???， (因為 )。下面我們研究泰勒公式的應(yīng)用問題，主要包括在計算行列式，利用泰勒公式證明斂散性，判斷函數(shù)的凹凸性等方面的應(yīng)用。由 和 式知 。 010()2()fxfK?????()濟南大學(xué)畢業(yè)論文 7 若函數(shù) 在鄰域 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理，有()fxD 。 泰勒公式的證明 下面我們首先討論帶有 Lagrange 型余項的泰勒公式的證明問題，主要是根據(jù)拉格朗日中值定理來討論泰勒公式的證明。本部分在現(xiàn)行教材對泰勒公式證明的基礎(chǔ)上，研究泰勒公式的一種新的更為簡單的證明方法。39。鮑培文 [5]給出了泰勒公?式與泰勒級數(shù)的異同和典型應(yīng)用問題。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function bined with concrete example to explain。畢 業(yè) 論 文題 目 泰勒公式的若干問題研究 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計算科學(xué) 班 級 計算 0901 學(xué) 生 呂晗 學(xué) 號 20220921073 指導(dǎo)教師 徐美榮 二〇一三年 五 月二十五日摘 要 本文探討了泰勒公式的若干問題。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 01lim1n??????and 1()lim[]!xan?????????。在一般的《數(shù)學(xué)分析》中，僅給出了泰勒公式的證明以及在計算極值問題方面的應(yīng)用，但在實際的生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會應(yīng)用泰勒公式來解決一些實際問題，因此有必要對泰勒公式的若干問題進行深入研究。 20220 000()()()() . ()!!nnnfffxfxxxx??????稱為函數(shù) 在點 處的泰勒公式， 稱為泰勒公式的余項。 泰勒公式的幾種形式在證明泰勒公式前，我們首先給出泰勒公式的幾種不同形式。證明：由拉格朗日中值定理知,若 在 的某鄰域 內(nèi)可導(dǎo)，則()yfx?0D,其中 介于 與 之間，即0()fx??10()fx???1?0 。 020()()fxffx???????介于 與 之間。3?0x(). 31()Kf??！并代入 式，得32301()()!Rfx????7，230030()()()2!!fxfxfx?????????濟南大學(xué)畢業(yè)論文 8 仿此可推得，20221()()()2fxfxfx??????? ()01)()!nnfxRx??其中 ， 介于 與 之間。 泰勒公式在計算行列式中的應(yīng)用 在代數(shù)學(xué)中，有關(guān)利用代數(shù)知識計算行列式的方法很多，但應(yīng)用泰勒公式法極為少見，下面讓我們從泰勒公式入手，利用泰勒展開式計算行列式。21???于是 在 處的各階導(dǎo)數(shù)(注意到公式 ) 為()nfxz?，21)(|())nnxznfffzy?????， 3(| (zz?… … … … ，111()()|()2())2nnxzff fznz?????? ?。為了有效地選取 中的 值，可以應(yīng)用1na?? 1pn???泰勒公式研究通項 ( )的階，據(jù)此選取恰當(dāng)?shù)?值使 ，并且保0n?limnpa??l?證 ，再由比較判定法(極限形式)就可判定 的斂散性，下面舉例說明之。32()9lim1nfx???()0f1()x??? 通過上面兩個例子我們討論了泰勒公式在斂散性方面的應(yīng)用，接下來我們討論泰勒公式在判斷函數(shù)凹凸性方面的應(yīng)用。121l()l()nni??? 121nnixx???濟南大學(xué)畢業(yè)論文 14 4 泰勒公式“中間點”的漸近性我們知道,一般的《數(shù)學(xué)分析》教材中對于帶有拉格朗日余項的泰勒公式的“中間點” ，只是肯定了“中間點”的存在性，但沒有研究“中間點” 的性質(zhì)，本部分?我們研究泰勒公式“中間點” 的漸近性問題，主要分區(qū)間長度趨于零與區(qū)間長度?趨于無窮進行討論。 當(dāng)區(qū)間長度趨于無窮時的“中間點”的漸近性 為了研究區(qū)間長度趨于無窮時中間點的漸近性，我們首先給出兩個引理： 引理 [1] 設(shè) ， ，則lim()xf????0li()xgA??1)當(dāng) 時， ；A0?g?2)當(dāng) 時， 。+()(1)limnx??????()li()nxFx??????基于以上引理我們得到以下中間點的漸近性結(jié)論。 ()() ()()+!()lilimlilimn nnnxxxxFf fa???????????若存在 .使 .則由于 在 上連續(xù)，所以必存在 ，ba?b?()f[,]ab0[,]xab?使 從而 .這是矛盾的，故當(dāng) 時，()()0nnfxf??()()0linnxf???? ??有 。其中 為非零常數(shù)， 為實數(shù)， .1lim[]!()x ???????B?1?證明:因為 ， ，故 。接下來我們具體探討泰勒公式與泰勒級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系以及泰勒級數(shù)的應(yīng)用問題。2022 011()+()2()2nnfffxfxn????????? ??? ? 泰勒級數(shù)與泰勒公式的應(yīng)用濟南大學(xué)畢業(yè)論文 21 對于一階微分方程， 若 為關(guān)于 ， 的多項式，則可設(shè)其通=(,)dyfx(,)fyxy解為 將 及 代入,比較同次冪的系數(shù)，