泰勒公式的若干問題研究畢業(yè)論文-wenkub.com
2025-06-20 01:12 本頁(yè)面
【正文】 希望自己能夠繼續(xù)少年時(shí)的夢(mèng)想，永不放棄。最后要感謝的是我的父母，他們不僅培養(yǎng)了我對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)文化的濃厚的興趣，讓我在漫長(zhǎng)的人生旅途中使心靈有了虔敬的歸依，而且也為我能夠順利的完成畢業(yè)論文提供了巨大的支持與幫助。在畢業(yè)論文的完成過程中,我的指導(dǎo)老師徐老師以治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn), 嚴(yán)格要求給了我深刻的印象,、定題開始，到論文任務(wù)書和開題報(bào)告,再到最后論文的反復(fù)修改、潤(rùn)色，徐老師始終認(rèn)真負(fù)責(zé)地給予我深刻而細(xì)致地指導(dǎo)，耐心的為我解答論文寫作過程中遇到的種種問題,幫助我開拓研究思路，正是徐老師的無私幫助與耐心講解，她利用緊張忙碌的教學(xué)任務(wù)之余,利用個(gè)人休息時(shí)間幫我指點(diǎn)論文以及搜集外文翻譯資料。本文我們總結(jié)了不同于課本上證明泰勒公式的方法，并通過三個(gè)方面了解了泰勒公式的應(yīng)用。(34)0(1)34!kkf????0,12k?而 在 處的其他各階導(dǎo)數(shù)為零。例 求 在點(diǎn) 處的各階導(dǎo)數(shù) 的值。? n? 201nyaxax???? ?例 求方程 ，滿足 的特解。當(dāng) 的各階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)， 的泰勒級(jí)數(shù)在收斂情況下一定等于 ；()fx()fx ()fx但不論 的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂，只要 有 階導(dǎo)數(shù)，就有泰勒公式成立，可1n?見泰勒級(jí)數(shù)收斂時(shí)，與泰勒公式結(jié)果一致，都是 。 泰勒級(jí)數(shù)與泰勒公式的區(qū)別 首先我們討論泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的區(qū)別。1=?又 ，且 ，由定理有() ()+limli[]0nnxxfxAB???????????(,)x????(0nx??。(=li 0nxf????()lim[]0nxfxAB????????令 ，則 與 應(yīng)用泰勒中值定()()!nAfa??()10()!knkfapx???()?f理可取到相同的中間點(diǎn) .事實(shí)上，對(duì)于 。 ()1lim1)()()!nnx aafxx???????????????()注意到 時(shí)，有 得 ， x?()lim1)()0nnxaf Ax??????????()由 式知 存在，故由 式知 )li()xG???()li()xa????，lim(!xAan??????由 式與 式立得 式。??若 ，則由引理 ，有 ，從而 )i0??()11limlinxxfA?????????。+x????A?若 ，則由引理 有)i0??，()limli()nxxfA?????????其中 為當(dāng) 時(shí)的無窮小量。定理 [1] 設(shè) 在[ 有 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于任意 ，必存在()f,)an(,)xa???，使(,)ax??2022()(!fxffx????????? 1100()!nnf??。(1)(1)()(1) (1)()k kxkk kkkxtddtxMx????????????由此不等式知 ，由數(shù)學(xué)歸納法知 1)成立。li()xf?? 引理 [6] 設(shè) 在 有 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且 ，則?[,anlim()nxA??????1)當(dāng) 時(shí)， ；A0?()limix?????2)當(dāng) 時(shí)， ；()i濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 16 3) 。()(1)10000)lilililim()( !!nnnnmmmhffafafaa ??????????代入 中有 ，所以()g?(1))!nfg???(1) (1)00 0li()li()li()! !n nn nmmmfafaa m?? ??????。 當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨于零時(shí)的“中間點(diǎn)”的漸近性濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 15 首先我們討論區(qū)間長(zhǎng)度趨于零時(shí)的情況。12n?再證()式成立。濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 13 泰勒公式在判斷函數(shù)凹凸性的應(yīng)用例 若 二次可微，且 ，證明不等式()fx()0fx? 。例 研究廣義積分 的斂散性。0l???1na??濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 12 例 判定級(jí)數(shù) ( )的斂散性。 泰勒公式在判別斂散性方面的應(yīng)用在級(jí)數(shù)斂散性理論中，要判定一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是否收斂，通常找一個(gè)參考級(jí)1na???數(shù)： 級(jí)數(shù) ( )，根據(jù) 級(jí)數(shù)的斂散性來判定級(jí)數(shù) 的斂散性。()n???把以上各導(dǎo)數(shù)代入() 式中，有濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 11 12 32(1)())()()()!!nn nn nfxzyzyxzzyxz?? ???????,12()n n?? ?若 ，有 。 ()2()()()()1!!!nnnnnfzfzfzfxxxx??????????易知 。首先看一個(gè)具體的例子。這就證明了帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，當(dāng) 時(shí)可同理證明帶有麥克勞林公式0x?的泰勒公式。(1)10(!nnnRf???0從整體推導(dǎo)過程可知，函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)必須具有 至 階導(dǎo)數(shù)才行。 020()3!()fxfKx???.8若 在鄰域 內(nèi)有三階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理有()fxD 。2?0x由 和 式得 ，(.4).512()!Kf???。這樣 式變?yōu)?211())xK??12.) 。 010()()fxfx????2.若將 代替 式中的 ，則產(chǎn)生誤差記為 。()fx?0()fx??? (0)()!nnfxR?其中 = ( )。定義 [1] 帶有 Peano 型余項(xiàng)的泰勒公式:函數(shù) 在， 上具有 階導(dǎo)數(shù),()fx[,]abn則 有
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