泰勒公式的若干問題研究畢業(yè)論文(已修改)
2025-07-05 01:12 本頁(yè)面
【正文】 畢 業(yè) 論 文題 目 泰勒公式的若干問題研究 學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 班 級(jí) 計(jì)算 0901 學(xué) 生 呂晗 學(xué) 號(hào) 20220921073 指導(dǎo)教師 徐美榮 二〇一三年 五 月二十五日摘 要 本文探討了泰勒公式的若干問題。首先給出了幾種不同形式的泰勒公式并給出了相應(yīng)的證明。其次我們討論了泰勒公式的應(yīng)用問題，主要分析了泰勒公式在計(jì)算行列式，判斷級(jí)數(shù)斂散性，判斷函數(shù)凹凸性等方面的應(yīng)用，并輔以具體的例子進(jìn)行說明，另外我們研究了泰勒公式中間點(diǎn)的漸近性問題，主要分區(qū)間長(zhǎng)度趨于零和區(qū)間長(zhǎng)度趨于無窮大兩種情況進(jìn)行了討論，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨于零與無窮時(shí)中間點(diǎn) 分別?滿足的條件 與 。最后討論了泰勒公式01lim1n??????1()lim[]!xan?????????與泰勒級(jí)數(shù)之間的關(guān)系以及泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)在計(jì)算方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：泰勒公式；斂散性；行列式；漸近性濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 1 ABSTRACTIn this paper，we discuss some problems of Taylor formula。Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。Secondly, we discuss the application of Taylor formula。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function bined with concrete example to explain。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 01lim1n??????and 1()lim[]!xan?????????。Finally, we discusses the relationship between the Taylor formula and Taylor series and the Taylor formula and Taylor Series in putational applications。Key words：Taylor formula。 convergence。determinant。 asymptotic behavior濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 2 目 錄摘要………………………………………………..…….….………….............IABSTRACT…………………………..………………………………………………..…II1 前言……….…………… ……………..……………………….……….…………… … ..1 引言………………………………………………………………………………..1 相關(guān)概念………........................................…… …….………….………...…….…..12 泰勒公式......................……..….………………………….…..….………….5 泰勒公式的幾種形式……...…………………………….………………………..5 泰勒公式的證明..………………………………….……………………..……… 63 泰勒公式的應(yīng)用………………………………………………………………….…….8 泰勒公式在計(jì)算行列式中的應(yīng)用..……….……….……………………………..8 泰勒公式在判別斂散性方面的應(yīng)用.…………………………...……………..…9 泰勒公式在判斷函數(shù)凸凹性中的應(yīng)用……..……………………………..…… 114 泰勒公式的“中間點(diǎn)”的漸近性…………………………………………………….12 當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨于零時(shí)“中間點(diǎn)” 的漸近性…………………………….……..12 當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨于無窮時(shí)“中間點(diǎn)” 的漸近性..………………….…………….125 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)……………….…………………………………….… …………19 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的區(qū)別…………..………………..…...………………….19 泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用…………………………………….……………...20結(jié)論......................……….………….……………………..….……...…..…. ………........22參考文獻(xiàn)......................…………….…………………..….…..……………….………….23致謝......................………………….……………………..…….…………...…………….24濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 3 1 前言 引言 泰勒公式在數(shù)學(xué)上占有非常重要的地位，近年來，關(guān)于泰勒公式的證明以及應(yīng)用的研究已經(jīng)引起國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者的關(guān)注和思考，對(duì)于泰勒公式的證明， “中間點(diǎn)”的漸近性及利用泰勒定理判斷級(jí)數(shù)斂散性、判斷函數(shù)凹凸性，泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)之間的關(guān)系等方面的研究，都取得了一定的進(jìn)展。其中劉瑜 [3]給出了泰勒公式在階行列式計(jì)算中的應(yīng)用問題；邱忠文 [5]討論了利用泰勒公式證明函數(shù)的凸凹性問n題；續(xù)鐵權(quán) [8]討論了泰勒公式“中間點(diǎn)”當(dāng) 的漸近性態(tài)問題；鮑春梅 [12]討論x??了當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度趨于零與無窮時(shí)“中間點(diǎn)” 的漸近性問題。鮑培文 [5]給出了泰勒公?式與泰勒級(jí)數(shù)的異同和典型應(yīng)用問題。在一般的《數(shù)學(xué)分析》中，僅給出了泰勒公式的證明以及在計(jì)算極值問題方面的應(yīng)用，但在實(shí)際的生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)應(yīng)用泰勒公式來解決一些實(shí)際問題，因此有必要對(duì)泰勒公式的若干問題進(jìn)行深入研究。在一些文獻(xiàn)中只是具體地研究了泰勒公式的應(yīng)用問題或中間點(diǎn)的漸近性問題。本文將系統(tǒng)地研究泰勒公式的若干問題，從泰勒公式的證明到泰勒公式的中間點(diǎn)的漸近性，最后再討論泰勒公式的應(yīng)用以及泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系等。對(duì)于泰勒公式的應(yīng)用太少，我們要研究的泰勒公式問題，不僅要熟練應(yīng)用泰勒公式計(jì)算極值，還要研究泰勒公式在更多方面的作用，如當(dāng)“中間點(diǎn)”趨于零與無窮時(shí) 滿足的條件,利用泰勒公式計(jì)算行列式，利用泰勒公式證明函數(shù)凹凸性，以及?研究泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)之間的關(guān)系，更進(jìn)一步了解泰勒公式的性質(zhì)。在本文的研究中主要用到以下基本概念和相關(guān)定理。 相關(guān)概念及定理 定義 [1]對(duì)于一般函數(shù) ，設(shè)它在點(diǎn) 存在直到 一個(gè) 次多項(xiàng)式n濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 4 ，則稱為函數(shù) 在()20220000()()() )1!!!nnnfxfxfxTxf?????????? f點(diǎn) 處的泰勒多項(xiàng)式， 的各項(xiàng)系數(shù) 稱為泰勒系數(shù)。0 ()nT()0!kf1,)??定義 [1]若函數(shù) 在點(diǎn) 存在直到 階導(dǎo)數(shù)，則有 = ，f0xn??fx0()nnTox??即，39。39。 20220 000()()()() . ()!!nnnfffxfxxxx??????稱為函數(shù) 在點(diǎn) 處的泰勒公式， 稱為泰勒公式的余項(xiàng)。f0()()nnRfT?定義 [1]若函數(shù) 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有直到 階導(dǎo)數(shù)，則在該鄰域內(nèi)()fx+1的 階泰勒公式為()fxn，39。39。 20220 00()()()() .!!nnfxfxfxfx?????????其中 ，稱為拉格朗日余項(xiàng)，以上函數(shù)展開式稱為泰勒級(jí)數(shù)。00()!nnf?定理 [1]拉格朗日(Lagrange)中值定理
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