【正文】 受迫量子諧振子若干問題的討論 摘 要 目前，受迫量子諧振子問題的研究已經(jīng)成為一個熱點，含時受迫諧振子系統(tǒng)是量子力學中能夠精確求解其含時薛定諤方程的的少數(shù)幾個量子系統(tǒng)之一。本文首先描述了經(jīng)典的受迫諧振子，后對量子力學中的諧振子作了初步描述，然后依據(jù)含時非齊 次波個留夫變換的公式體系詳細討論了受迫量子諧振子的薛定諤方程精確解并且用初等的方法探討了諧振子的躍遷幾率問題 。 關鍵詞 ： 受迫量子諧振子；薛定諤方程； 波函數(shù) ；躍遷幾率 ABSTRACT At present, the research of pelled Quantum harmonic oscillator have already bee a hot spot, this is the question we can give a exact solution in Quantum questions .This article first describes the classical harmonic oscillator, latter make a preliminary description of quantum mechanics harmonic oscillator, then discussed the pelled quantum harmonic oscillator in detail and give the Schr246。dinger equation exact solution and study the transition probability of the harmonic oscillator. Key words: pelled Quantum harmonic。 Schr246。dinger equation。 transition probability。 transition probability 3 目 錄 引言 …………………………………………… …………………………………… … 1 1 經(jīng)典諧振子 .................................................................................................................2 經(jīng)典諧振子的描述 ……………… ....……………………… ……… ...… .........2 阻尼諧振子 ……………… .…………………………… ………… ...……… … .3 受迫諧振子 ……………………………… …… … ……… …………………… .5 2 受迫諧振子 …………… … .……… .…………………… ..……………… … .……… 6 量子諧振子（一維） ……………………………………… …….………… … 6 受迫量子諧振子薛定諤方程的精確解 ……………… ………… ..……… ......9 諧振子在含時均勻外場下躍遷概率的精確解 ..............................................13 參考文獻 .....................................................................................................................17 致謝 ……………………………………………………………………………… .....18 4 引 言 在物理學的學習過程中，我們經(jīng)常遇到諧振子的有關問題。 理學中諧振子是在物理學習中必須接 觸到的一種非常典型的物理模型，其處理方法和有關知識幾乎涵蓋了經(jīng)典力學和量子力學中的典型知識。了解諧振子問題是物理學習者學習物理的基礎，其內(nèi)容包羅萬象，對物理學的發(fā)展特別是近代量子力學的發(fā)展起了不可磨滅的作用，其在固體物理，統(tǒng)計力學以及一些相關學科中的應用廣泛，學好諧振子有關知識是從事物理事業(yè)的基礎，從而可見諧振子模型在整個物理學尤其是近代物理學的發(fā)展和成熟中的舉足輕重的地位和難以估量的作用，現(xiàn)在諧振子問題是物理學中非常實用的知識，在近代物理學，特別是近百年來量子力學的發(fā)展中有著不可忽視的作用，其處理方法為以 后研究物理，拓寬物理識，解決有關的物理問題提供一點參考。 目前，由于含時受迫諧振子系統(tǒng)不但可以精確求解，而且在量子光場介觀電路系統(tǒng)等有著重要的應用，含時受迫諧振子系統(tǒng)已經(jīng)成為研究的一個熱點，我們采用初級的方法對諧振子薛定諤方程進行了精確求解，并且解出 諧振子在含時均勻外場下躍遷概率的精確解。 1 經(jīng)典諧振子 理想諧振子的經(jīng)典描述 理想諧振子就是經(jīng)典力學中做簡諧振動的諧振子，其代表為彈簧振子，下面談一下理 5 想諧振子的有關知識。 彈簧振子的定義 將水平放置的彈簧一端固定，另一端與穿在水平桿上的小球相連，忽略小球與桿之間的摩擦力和空氣阻力，把小球看作質(zhì)點，彈簧的質(zhì)量遠小于小球的質(zhì)量，可以忽略不記，則彈簧和小球所組成的系統(tǒng)就稱作彈簧振子。 彈簧振子的動力學特征 將小球看作質(zhì)點，彈簧自由伸長時質(zhì)點的位置是平衡位置，依此為坐標原點建立坐標系 0 x， x 表示質(zhì)點的位置坐標，也相當于質(zhì)點的位移，也就是彈簧的伸長量，當 x 很小時，力 fx與 x 之間成線形關系，即： fx=kx (11) (k 是彈簧勁度系數(shù) )。 以 m表示質(zhì)量，根據(jù)牛頓第 二定律知： m22dtxd =kx (12) 用 m除以上式兩端，并令 mk ＝ 20? 上式可寫作： m22dtxd ＋ 20? ＝ 0 （ 13） 式中的 0? 決定于彈簧的勁度系數(shù)和小球的質(zhì)量這就是彈簧振子的動力學方程 理想諧振子的運動學方程 根據(jù)運動學公式可知，如果已知理想彈簧振子中質(zhì)點的位置歲時間的變化規(guī)律，即運動學方程，就能充分描述質(zhì)點的運動狀況，下面我們就根據(jù)理想諧振子的動力學方程來求其運動學方程，并討論其運動學特征。 根據(jù)常微分方程理論，微分方程 m22dtxd + 20? x = 0 的解可以寫作； x=Acos(? t +? ) (15) 其中Ａ是諧振子振動的強度，是諧振子在振動過程中偏離平衡位置的最大位移，稱為振幅。 ? 是振動初相位， ? t +? 是振動的相位。 0? 稱為圓頻率。由于 0? 是由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定的，故稱 0? 為固有圓頻率。 從上面可以看出，理想諧振子的運動軌跡是正余弦曲線，隨著時間的推移在不斷的向推移。 理想諧振子的能量轉(zhuǎn)化 振子在運動過程中，發(fā)生動能和彈性勢能之間的相互轉(zhuǎn)化，設在轉(zhuǎn)化過程中振子的位移為 x，速度為 v,則整個系統(tǒng)的總能量可以表示為： 6 21kx2 +21mv2 = E 總 （ 16） 當速度為零時，振子恰好運動到最大位移處，故有： 21KA2 = E 總 （ 17） 由上兩式可以知道： 21 kx2 +21 mv2 =