【正文】 21 KA2 (18) 式（ 18）就稱為理想諧振子的能量轉(zhuǎn)化表達(dá)式，故知振子在運(yùn)動過程中遵循機(jī)械能守恒定律。由上式可以分析振子在運(yùn)動過程中的能量轉(zhuǎn)化。 阻尼諧振子 以上討論均假設(shè)質(zhì)點(diǎn)在振動過程中不受任何阻力，這只是理想的狀態(tài)，在現(xiàn)實(shí)中諧振子都是受到阻力的，在運(yùn)動過程中都是在做振幅逐漸減小的運(yùn)動，這種受到阻力的諧振子就稱為阻尼諧振子，它是諧振子的一種現(xiàn)實(shí)模型，下面我們就研究一下這種諧振子模型 。 設(shè)振動速度較小時，可認(rèn)為摩擦力正比于質(zhì)點(diǎn)的速率，為簡單起見，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在一條直線上，在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動，我們選擇質(zhì)點(diǎn)平衡位置為原點(diǎn)。令坐標(biāo)軸與質(zhì)點(diǎn)的軌跡重合，則有： f x = ? vx = ? dtdx (19) 其中 ? 為阻力系數(shù)，它與周圍媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，負(fù)號表示阻力與質(zhì)點(diǎn)速度的方向相反，則根據(jù)牛頓第二定律可知： m dtdxkxdt xd ????22 (110） 以 m遍除各項可轉(zhuǎn)化為如下方程式： dtdxmxmkdt xd ????22 （ 111） 令 mk?20?， ?? m2? 則 0? 即為振動系統(tǒng)的固有圓頻率， ? 即為阻尼因數(shù)，和振動系統(tǒng)以及媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，故方程可轉(zhuǎn)化為： 22dtxd ＋ 2? dtdx ＋ 20? x = 0 (112) 按照微分方程理論，對于一定的振動系統(tǒng)，可根據(jù)阻尼系數(shù) ? 大小的不同，由運(yùn)動 7 學(xué)方程解出三種可能的運(yùn)動狀態(tài)： （１）欠阻尼狀態(tài)： 當(dāng)阻力很大時，以至 ? ＜ 0? ，可由（ 112）式求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)方程： x =Ae 2? cos( 39。? t +? ) 39。? = 220 ?? ? （ 113） A 和 ? 為待定系數(shù)．由初始條件決定，因子 Ae 2? 表示不斷隨時間而衰減的振幅，cos( 39。? +? )則表示以 39。? 為圓頻率周期的 變化，二因子相乘表示質(zhì)點(diǎn)做運(yùn)動范圍不斷減小的往復(fù)運(yùn)動，故稱這種狀態(tài)為欠阻尼狀態(tài)． （２）過阻尼狀態(tài) 當(dāng)阻力很大，以至 ? ＞ 0? 根據(jù)微分方程理論可知（ 112）式的解為： x =C1e(? 202 ?? ? ) + C2e 202 ??? ?? （ 114） 其中 C１ 和 C２ 是由初始條件決定的常數(shù)。上式表明，隨時間的推移，質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)單調(diào)的趨于零，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動不僅使非周期的，甚至是不往復(fù)的，則稱這種運(yùn)動狀態(tài)為過阻尼狀態(tài)。 （３）臨界阻尼狀態(tài) 如阻力的影響介于前兩者之前，且 ? ＝ 0? ，則方程（ 112）式的解可表示 ： x =( C1 + C2t )e? t （ 115） C１ 和 C2 由初始條件決定，此式仍不表示往復(fù)運(yùn)動，由于阻力較前者為小，將質(zhì)點(diǎn)移開平衡位置釋放后，質(zhì)點(diǎn)很快回到平衡位置并停下來，這種運(yùn)動狀態(tài)稱為臨界阻尼狀態(tài)。為了區(qū)分這三種狀態(tài)，可參照以下這三種狀態(tài)的圖象 : 受迫諧振子 現(xiàn)在討論在欠阻尼狀態(tài)諧振子振動系統(tǒng)上加上周期性外力所發(fā)生的振動，我們稱振動系統(tǒng)在連續(xù)的周期性外力作用下進(jìn)行振動的諧振子稱為受迫諧振子，下面簡要的研究一下受迫諧振子的有關(guān)特性： 受迫諧振子振動的運(yùn)動學(xué)方程 設(shè)質(zhì)點(diǎn)受到三種力：彈簧的彈力－ kx,阻尼力－ dtdx? ，周期性外力 F(x)=F0cost? ,根據(jù)牛頓第二定律得其運(yùn)動學(xué)方程為： （ a）欠阻尼狀態(tài) x t o (b)過阻尼狀態(tài) x t 0 x T 0 （ c） 臨界阻尼狀態(tài) 8 m22dtxd =－ kx－ dtdx? +F0cos? t (116) 為方便起見可令： 20? ＝mk，mFf 00?，m2 ???，代入（ 116）式可化簡為如下方程： 22dtxd ＋ 2 dtdx? ＋ x20? ＝ ?cosf0 t （ 117） 這就是受迫諧振子的動力學(xué)方程的 常見形式，其中 00,f, ?? 稱為參量。 受迫諧振子振動的運(yùn)動學(xué)特征 根據(jù)微分方程的理論，方程（ 117）的解為： ???Aex tcos( 39。? t＋ ? )＋ ?tA ?cos(0 )? （ 118） A和 ? 是由初始條件決定的積分常數(shù)，此解為兩項之和，表明質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動包含兩個分運(yùn)動，第一項為阻尼振動，隨時間的推移而趨向于消失，它反應(yīng)了受迫振動的暫態(tài)行為，第二項表示與驅(qū)動力頻率相同時振幅為 A0的周期振動。 受迫諧振子的位移共振 對于一定的振動系統(tǒng)，在阻尼條件一定的條件下，最初振幅隨驅(qū)動力頻率的增大而增大，待達(dá)到最大值后，隨驅(qū)動力頻率的增大而減小，最后驅(qū)動力達(dá)到很高頻率而質(zhì)點(diǎn)幾乎不動。 當(dāng)驅(qū)動力頻率取一定值時，振幅獲得最大值，振動系統(tǒng)受迫振動時，其振幅達(dá)到極大值的現(xiàn)象稱為位移共振，這 時驅(qū)動力的圓頻率為 220 2??? ??r ，這一頻率稱為共振圓頻率，位移共振有很高的利用價值。 2 量子受迫諧振子 一維量子諧振子 振動是運(yùn)動的基礎(chǔ)形態(tài)之一，而簡諧振動是最簡單，最基礎(chǔ)的形式。體系在平衡位置附近的小振動，如分子的振動、晶格的振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等。然而在選擇合適的坐標(biāo)之后，對于一個復(fù)雜的振動往往可以分解成彼此獨(dú)立的若干個一維簡諧振動。在力學(xué)中簡諧振動往往可作為復(fù)雜運(yùn)動的近似，它是抽象的理想化物理模型。所以，對諧振子的研究無論在理論上，還是在應(yīng)用 上都具有廣泛的意義。因此在量子力學(xué)中研究一維諧振子的量子狀態(tài)便有普遍意義。 在經(jīng)典力學(xué)中，一維諧振子勢能為 221kx ，坐標(biāo)與時間的關(guān)系為 )sin( ?? ??? tax ，式 9 中 a 為振幅， ? 為初位相。由于微觀粒子具有波粒二象性，所以量子力學(xué)中一維諧振子問題與經(jīng)典力學(xué)不同。在量子力學(xué)中我們必須通過對定態(tài)薛定諤方程進(jìn)行求解，得出體系能級和波函數(shù)。 下面我們首先在坐標(biāo)表象中利用級數(shù)解法對 一維諧振子進(jìn)行求解。取振子平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，選原點(diǎn)為勢能零點(diǎn)，一維諧振子勢能為 （ 21) 式中 k是刻畫簡諧作用力強(qiáng)度的參數(shù)?？梢娎硐胫C振子勢為一個無限深拋物線勢阱。設(shè)振 質(zhì)量為 m,令 mk/?? (22) 在坐標(biāo)表象，一維諧振子的定態(tài) Schr246。dinger 方程表為 )()(]212[ 22222 xExxdxd ????? ??? ? （ 23） 對束縛態(tài)必須滿足如下邊界條件： 0)(|| ??? xx ?時， (24) 令 ?? ???? .x??? ?? ?E2? () 將（ 24）代入（ 23）式得 ? ? ? ? ?