【正文】 um harmonic。 受迫量子諧振子若干問題的討論 摘 要 目前，受迫量子諧振子問題的研究已經(jīng)成為一個熱點，含時受迫諧振子系統(tǒng)是量子力學(xué)中能夠精確求解其含時薛定諤方程的的少數(shù)幾個量子系統(tǒng)之一。 Schr246。 理學(xué)中諧振子是在物理學(xué)習(xí)中必須接 觸到的一種非常典型的物理模型，其處理方法和有關(guān)知識幾乎涵蓋了經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中的典型知識。 彈簧振子的定義 將水平放置的彈簧一端固定，另一端與穿在水平桿上的小球相連，忽略小球與桿之間的摩擦力和空氣阻力，把小球看作質(zhì)點，彈簧的質(zhì)量遠(yuǎn)小于小球的質(zhì)量，可以忽略不記，則彈簧和小球所組成的系統(tǒng)就稱作彈簧振子。 ? 是振動初相位， ? t +? 是振動的相位。 理想諧振子的能量轉(zhuǎn)化 振子在運動過程中，發(fā)生動能和彈性勢能之間的相互轉(zhuǎn)化，設(shè)在轉(zhuǎn)化過程中振子的位移為 x，速度為 v,則整個系統(tǒng)的總能量可以表示為： 6 21kx2 +21mv2 = E 總 （ 16） 當(dāng)速度為零時，振子恰好運動到最大位移處，故有： 21KA2 = E 總 （ 17） 由上兩式可以知道： 21 kx2 +21 mv2 =21 KA2 (18) 式（ 18）就稱為理想諧振子的能量轉(zhuǎn)化表達式，故知振子在運動過程中遵循機械能守恒定律。令坐標(biāo)軸與質(zhì)點的軌跡重合，則有： f x = ? vx = ? dtdx (19) 其中 ? 為阻力系數(shù)，它與周圍媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，負(fù)號表示阻力與質(zhì)點速度的方向相反，則根據(jù)牛頓第二定律可知： m dtdxkxdt xd ????22 (110） 以 m遍除各項可轉(zhuǎn)化為如下方程式： dtdxmxmkdt xd ????22 （ 111） 令 mk?20?， ?? m2? 則 0? 即為振動系統(tǒng)的固有圓頻率， ? 即為阻尼因數(shù)，和振動系統(tǒng)以及媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，故方程可轉(zhuǎn)化為： 22dtxd ＋ 2? dtdx ＋ 20? x = 0 (112) 按照微分方程理論，對于一定的振動系統(tǒng)，可根據(jù)阻尼系數(shù) ? 大小的不同，由運動 7 學(xué)方程解出三種可能的運動狀態(tài)： （１）欠阻尼狀態(tài)： 當(dāng)阻力很大時，以至 ? ＜ 0? ，可由（ 112）式求出質(zhì)點的運動學(xué)方程： x =Ae 2? cos( 39。? 為圓頻率周期的 變化，二因子相乘表示質(zhì)點做運動范圍不斷減小的往復(fù)運動，故稱這種狀態(tài)為欠阻尼狀態(tài)． （２）過阻尼狀態(tài) 當(dāng)阻力很大，以至 ? ＞ 0? 根據(jù)微分方程理論可知（ 112）式的解為： x =C1e(? 202 ?? ? ) + C2e 202 ??? ?? （ 114） 其中 C１ 和 C２ 是由初始條件決定的常數(shù)。 受迫諧振子振動的運動學(xué)特征 根據(jù)微分方程的理論，方程（ 117）的解為： ???Aex tcos( 39。 2 量子受迫諧振子 一維量子諧振子 振動是運動的基礎(chǔ)形態(tài)之一，而簡諧振動是最簡單，最基礎(chǔ)的形式。所以，對諧振子的研究無論在理論上，還是在應(yīng)用 上都具有廣泛的意義。在量子力學(xué)中我們必須通過對定態(tài)薛定諤方程進行求解，得出體系能級和波函數(shù)。設(shè)振 質(zhì)量為 m,令 mk/?? (22) 在坐標(biāo)表象，一維諧振子的定態(tài) Schr246。但 22?? e? 不滿足束縛態(tài)邊界條件（ 24），應(yīng)舍棄，只取方 程（ 26）解為： 22?? ??e (27) 2kx21)x(V ? 10 令方程（ 26）的解為 : ? ????? ?? 22e (28) 代入（ 26）可得 )(?? 滿足的方程為： 0H)1(ddH2d Ηd 22 ???????? （ 29） 此即 Hermite 方程， 0x? 為方程的常點，可在 0?? 的領(lǐng)域內(nèi)用冪級數(shù)展開來求解?？梢宰C 明，只有方程（ 26）中的參數(shù)滿足： n21??? ,n=0、 2 （ 210） 因此方程（ 26）的解為一個多項式，記為 )(Hn? （ Hermite 多項式）。由于粒子能量 2/0 ???E 不難證明，在 ?? /1 ?mx ?? ? 時， 101 ,/)( ?? ?? ?? ExxV 為諧振子的特征長度。計算表明，諧振子處前幾個量子態(tài)時，幾率密度與經(jīng)典情況 無相似之處，隨量子數(shù) n 增大，相似性隨之增加。 ?? ?( , , )aa I? 構(gòu)成 HeisenbergWeyl 李代數(shù) ,滿足對易關(guān)系? ?,1aa? ? ， ? ?? ?, , 0a I a I???這樣方程 (222)構(gòu)成兩個子代數(shù) SU(1,1)和 h(4)的直積和 ,記為SU(1,1)? h(4),函數(shù) f(t),g(t),h(t)定義為 : **( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t v t u t u t v t?? **( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t u t u t v t v t?? （ 223） **( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t v t w t u t w t?? 如果我們把方程 (222)的解寫成 WeiNorman 形式（） ,即 0 0 1 2 3? ? ? ? ?? ?( ) e x p ( ) e x p ( ) ( ) e x p ( ) e x p ( ) e x p ( )U t b t K b t K e x p b t K b t a b t a b t I?? ? ? ??（ 224） 容易證明 ()jbt與變換系數(shù) u(t),v(t)和 w(t)的關(guān)系是 : 13 0()bt=2lnu(t), ()() ()vtbt ut? ?? , *()()()vtbt ut? ?, 1()bt=w(t),b2(t)= *()wt （ 225） 3()bt= *0( ) ( ) ( )t k t w t w t dt? ? ? ??????? 現(xiàn)在考慮具有 SU(1,1)? h(4)李代數(shù)結(jié)構(gòu)的含時哈密頓 0 0 1 2 3? ? ? ? ?? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )H t A t K t A t K A t K A t a A t a A t I?? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ 226） 式中 Aj(t)是時間的函數(shù) ,此哈密頓滿足演化方程 : ? () ? ? ?( ) ( ) , ( 0 ) 1?Utih H t U t Ua? ?? （ 227） 比較 (226)