受迫量子諧振子若干問(wèn)題的討論_物理學(xué)畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-08-16 15:20 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? 0222 ??? ???????dd （ 25） ? (或 x)有限的點(diǎn)是微分方程（ 25）式的常點(diǎn)，而 ???? 則為其非正則奇點(diǎn)。下面首先討論方程（ 25）的解在 ???? 時(shí)的漸近行為。當(dāng) ???? 時(shí)，方程（ 25）近似表成： 0222 ?? ????dd （ 26） 其解為 22?? ??e 。但 22?? e? 不滿(mǎn)足束縛態(tài)邊界條件（ 24），應(yīng)舍棄，只取方 程（ 26）解為： 22?? ??e (27) 2kx21)x(V ? 10 令方程（ 26）的解為 : ? ????? ?? 22e (28) 代入（ 26）可得 )(?? 滿(mǎn)足的方程為： 0H)1(ddH2d Ηd 22 ???????? （ 29） 此即 Hermite 方程， 0x? 為方程的常點(diǎn)，可在 0?? 的領(lǐng)域內(nèi)用冪級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)求解。計(jì)算表明，在一般情況下，其解為一無(wú)窮級(jí)數(shù)，而當(dāng) ???|| 時(shí)，無(wú)窮級(jí)數(shù)解的漸近行為是2e)( ???? 。將其代入式（ 26），所得出的 ? 并不能滿(mǎn)足束縛態(tài)條件。因此，為保證束縛態(tài)邊條件，必須要求 )(?? 中斷為一個(gè)多項(xiàng)式?？梢宰C 明，只有方程（ 26）中的參數(shù)滿(mǎn)足： n21??? ,n=0、 2 （ 210） 因此方程（ 26）的解為一個(gè)多項(xiàng)式，記為 )(Hn? （ Hermite 多項(xiàng)式）。由（ 29）式和（ 25）式可知，諧振子的能量本征值為 ???? ?)21n(EE n n =0、 2… (211) 所以線(xiàn)性諧振子線(xiàn)性諧振子的能量只能取分離值，兩相鄰能級(jí)之差為 ?? ，對(duì)應(yīng)不同的n 或不同的 ? ，方程（ 29）有不同的解 )(Hn? ，稱(chēng)為厄米多項(xiàng)式，即nnnn d ede)1()(H22???????，故對(duì)應(yīng)的波函數(shù)為： 2/12 ]!2/[),()( 22 nAxHeAx nnnxnn ???? ? ???? ? 其中 （ 212） 正交歸一化條件為 mndx)x(nm ???????? ??? （ 213） 其中對(duì)應(yīng)于最低的三條能級(jí)上的諧振子的波函數(shù)如下： ??????????????????????2/24/132/4/112/4/102222222)12(21)(2)()(xxxexxexxex?????????????? （ 214） 討論：（ 1） )(xn? 是與能量本征值 nE 對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)。由于諧振子勢(shì)（ 21）式具有空 11 間反射不變性，所以 )(xn? 必有確定的宇稱(chēng)，可證明： （ 215） 由上式可知，當(dāng) n=偶數(shù)時(shí) ， )(0 x? 具有偶宇稱(chēng)； n=奇數(shù)時(shí)， )(0 x? 具有奇宇稱(chēng)。 （ 2）處于基態(tài)的諧振子在空間的幾率分布為 2220 |)(| xex ???? ??? （ 216） 這是一個(gè) Guass 型分布，在原點(diǎn) (x=0)處找到粒子幾率最大。由于粒子能量 2/0 ???E 不難證明，在 ?? /1 ?mx ?? ? 時(shí)， 101 ,/)( ?? ?? ?? ExxV 為諧振子的特征長(zhǎng)度。按照經(jīng)典力學(xué) 觀(guān)點(diǎn)，基態(tài)諧振子只允許在 1|| ???x （即 1?? ）的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，而 1|| ???x 屬于經(jīng)典禁區(qū)，但按照量子力學(xué)中波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋?zhuān)Ｗ佑幸欢◣茁侍幱诮?jīng)典禁區(qū)。 （ 3）在經(jīng)典力學(xué)中，在 ? 至 ?? d? 之間區(qū)域內(nèi)找到質(zhì)點(diǎn)幾率 ??? d)( 與質(zhì)點(diǎn)在此區(qū)域內(nèi)逗留的時(shí)間 dt 成比例，即 Tdtd ?? ??? )( （ 217） 式中 T 為振動(dòng)周期， 有 TVdTdT ????1)(1)( ??? （ 218） 即幾率密度與質(zhì)點(diǎn)速度成反比。對(duì)于經(jīng)典線(xiàn)性諧振子 )sin( ???? ??? t ，在 ? 點(diǎn)的速度為 212 )1()c o s (. 2?????? ???? tdtdv (219) 所以幾率密度與 2122 )1( ???? 成比例。計(jì)算表明，諧振子處前幾個(gè)量子態(tài)時(shí)，幾率密度與經(jīng)典情況 無(wú)相似之處，隨量子數(shù) n 增大，相似性隨之增加。就平均而言， n 愈大，量子結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果越接近，差別只在于 2|)(| ??n 作迅速振蕩。 受迫諧振子薛頂諤方程的精確解 我們將在文獻(xiàn) [1]提供的非齊次波戈留波夫變換的公式體系，以公式化的方法完成對(duì)受迫諧振子薛定諤方程的精確解的求解。 )()1()( xx nnn ?? ?? 12 含時(shí)非齊次波戈留波夫變換和 SU(1,1)? h(4)量子系統(tǒng) 單模齊次或非齊次波戈留波夫變換廣泛地應(yīng)用于量子光場(chǎng)壓縮態(tài)的定義和量子力學(xué)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化處理 [2].這里我們簡(jiǎn)要列出含時(shí)非齊次波戈留波夫變換和它與 SU(1,1)? h(4)量子系統(tǒng)結(jié)合的求解薛定諤方程的公式化方法 .非齊次波戈留波夫變換可寫(xiě)成矩陣形式 : ?U ? ?? ?U U M W??? ?? (220) 式中 ?U 是幺正算符 , ?? 和 W是列矢量 ,M是一個(gè) 2 2 矩陣 * * *?? ,?a w u vWMa w v u??? ? ?， (221) 這里 ?a 和 ?a? 是波色子的湮沒(méi)和產(chǎn)生算符 .u和 v滿(mǎn)足 221uv? ? .W是對(duì)應(yīng)于平移的一個(gè)復(fù)數(shù) ,在薛定諤繪景中 ,除了 ?a 和 ?a? 外 , ?U ,u,v 和 w 是時(shí)間的函數(shù) ,對(duì)方程 (220)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)并適當(dāng)處理后 ,我們得到 ** 0? ? ? ? ? ?? ?( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )U t U t f t K f t K g t K h t a h t a k t I????? ? ? ? ? ? (222) 式中 ?K? =21 ?2a?,?K? =21?2a, 0?K = ?? ? ?( ) / 4aa a a??? 構(gòu)成 SU(1,1)李代數(shù) ,它們滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系0? ?,2K K K????,0? ? ?,K K K????。 ?? ?( , , )aa I? 構(gòu)成 HeisenbergWeyl 李代數(shù) ,滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系? ?,1aa? ? ， ? ?? ?, , 0a I a I???這樣方程 (222)構(gòu)成兩個(gè)子代數(shù) SU(1,1)和 h(4)的直積和 ,記為SU(1,1)? h(4),函數(shù) f(t),g(t),h(t)定義為 : **( ) ( ) ( ) ( ) ( )f t v t u t u t v t?? **( ) ( ) ( ) ( ) ( )g t u t u t v t v t?? （ 223） **( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t
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