【正文】 的能量轉(zhuǎn)化 振子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，發(fā)生動(dòng)能和彈性勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化，設(shè)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中振子的位移為 x，速度為 v,則整個(gè)系統(tǒng)的總能量可以表示為： 6 21kx2 +21mv2 = E 總 （ 16） 當(dāng)速度為零時(shí)，振子恰好運(yùn)動(dòng)到最大位移處，故有： 21KA2 = E 總 （ 17） 由上兩式可以知道： 21 kx2 +21 mv2 =21 KA2 (18) 式（ 18）就稱為理想諧振子的能量轉(zhuǎn)化表達(dá)式，故知振子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中遵循機(jī)械能守恒定律。 Schr246。 1 經(jīng)典諧振子 理想諧振子的經(jīng)典描述 理想諧振子就是經(jīng)典力學(xué)中做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的諧振子，其代表為彈簧振子，下面談一下理 5 想諧振子的有關(guān)知識(shí)。? +? )則表示以 39。由于微觀粒子具有波粒二象性，所以量子力學(xué)中一維諧振子問(wèn)題與經(jīng)典力學(xué)不同。 （ 2）處于基態(tài)的諧振子在空間的幾率分布為 2220 |)(| xex ???? ??? （ 216） 這是一個(gè) Guass 型分布，在原點(diǎn) (x=0)處找到粒子幾率最大。 在這篇文章里我們首先論述了幾種諧振子。向物理系各位領(lǐng)導(dǎo)及提供大量幫助的老師和同學(xué)表示誠(chéng)摯的謝意。 14 v1(t)和 x3,4(t)=u2(t)177。因此，為保證束縛態(tài)邊條件，必須要求 )(?? 中斷為一個(gè)多項(xiàng)式。在力學(xué)中簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往可作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的近似，它是抽象的理想化物理模型。 設(shè)振動(dòng)速度較小時(shí)，可認(rèn)為摩擦力正比于質(zhì)點(diǎn)的速率，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在一條直線上，在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，我們選擇質(zhì)點(diǎn)平衡位置為原點(diǎn)。 transition probability 3 目 錄 引言 …………………………………………… …………………………………… … 1 1 經(jīng)典諧振子 .................................................................................................................2 經(jīng)典諧振子的描述 ……………… ....……………………… ……… ...… .........2 阻尼諧振子 ……………… .…………………………… ………… ...……… … .3 受迫諧振子 ……………………………… …… … ……… …………………… .5 2 受迫諧振子 …………… … .……… .…………………… ..……………… … .……… 6 量子諧振子（一維） ……………………………………… …….………… … 6 受迫量子諧振子薛定諤方程的精確解 ……………… ………… ..……… ......9 諧振子在含時(shí)均勻外場(chǎng)下躍遷概率的精確解 ..............................................13 參考文獻(xiàn) .....................................................................................................................17 致謝 ……………………………………………………………………………… .....18 4 引 言 在物理學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們經(jīng)常遇到諧振子的有關(guān)問(wèn)題。 理學(xué)中諧振子是在物理學(xué)習(xí)中必須接 觸到的一種非常典型的物理模型，其處理方法和有關(guān)知識(shí)幾乎涵蓋了經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中的典型知識(shí)。令坐標(biāo)軸與質(zhì)點(diǎn)的軌跡重合，則有： f x = ? vx = ? dtdx (19) 其中 ? 為阻力系數(shù)，它與周圍媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，負(fù)號(hào)表示阻力與質(zhì)點(diǎn)速度的方向相反，則根據(jù)牛頓第二定律可知： m dtdxkxdt xd ????22 (110） 以 m遍除各項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為如下方程式： dtdxmxmkdt xd ????22 （ 111） 令 mk?20?， ?? m2? 則 0? 即為振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率， ? 即為阻尼因數(shù)，和振動(dòng)系統(tǒng)以及媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，故方程可轉(zhuǎn)化為： 22dtxd ＋ 2? dtdx ＋ 20? x = 0 (112) 按照微分方程理論，對(duì)于一定的振動(dòng)系統(tǒng)，可根據(jù)阻尼系數(shù) ? 大小的不同，由運(yùn)動(dòng) 7 學(xué)方程解出三種可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)： （１）欠阻尼狀態(tài)： 當(dāng)阻力很大時(shí)，以至 ? ＜ 0? ，可由（ 112）式求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程： x =Ae 2? cos( 39。所以，對(duì)諧振子的研究無(wú)論在理論上，還是在應(yīng)用 上都具有廣泛的意義。可以證 明，只有方程（ 26）中的參數(shù)滿足： n21??? ,n=0、 2 （ 210） 因此方程（ 26）的解為一個(gè)多項(xiàng)式，記為 )(Hn? （ Hermite 多項(xiàng)式）。 v2(t).我們也得到 ? ?110( ) ( ) ( ) I m ( ) ( ) ( ) R e ( )tw t u t v t A t i u t v t A t d t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? （ 231） 這樣從給定含時(shí) SU(1,1)? h(4)哈密頓的參變函數(shù) Aj(t)(j=177。 。 18 我們來(lái)考慮一個(gè)特例 k=0，將式 (250)代入式 (245)得 2!2 ?? ?? ? eMWMMk (252) 此躍遷概率的極值在 2am? 處滿足關(guān)系 ?? ?Mqmmq ?? 222 2121 （ 253） 表明，當(dāng)經(jīng)典諧振子的能量等于第 m激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能量差時(shí)，體系最有可能躍遷到該態(tài)。由于諧振子勢(shì)（ 21）式具有空 11 間反射不變性，所以 )(xn? 必有確定的宇稱，可證明： （ 215） 由上式可知，當(dāng) n=偶數(shù)時(shí) ， )(0 x? 具有偶宇稱； n=奇數(shù)時(shí)， )(0 x? 具有奇宇稱。 在經(jīng)典力學(xué)中，一維諧振子勢(shì)能為 221kx ，坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系為 )sin( ?? ??? tax ，式 9 中 a 為振幅， ? 為初位相。? = 220 ?? ? （ 113） A 和 ? 為待定系數(shù)．由初始條件決定，因子 Ae 2? 表示不斷隨時(shí)間而衰減的振幅，cos( 39。 目前，由于含時(shí)受迫諧振子系統(tǒng)不但可以精確求解，而且在量子光場(chǎng)介觀電路系統(tǒng)等有著重要的應(yīng)用，含時(shí)受迫諧振子系統(tǒng)已經(jīng)成為研究的一個(gè)熱點(diǎn)，我們采用初級(jí)的方法對(duì)諧振子薛定諤方程進(jìn)行了精確求解，并且解出 諧振子在含時(shí)均勻外場(chǎng)下躍遷概率的精確解。dinger equation。由上式可以分析振子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)化。體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，如分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等。