受迫量子諧振子若干問題的討論_物理學畢業(yè)論文-預覽頁
【正文】 4 2t i iwmb t G w t w t F t w t w tw w w m w w w? ? ? ? ? ? 2 2403 2 2 2s in 2 9 c o s 4 s in() 2 8 8 6 4 6 4 8g m w t t w t w t w tbt w w w w? ? ? ? ? ?＋00 c o s s i n 22 4 4 4gf t t iw t t w tw w w??20 21c o s 2 e x p ( 2 )2 4 8g m w i t w t iw tww? ? ?22422 2 2 2 2s in s in 2 c o s 2 c o s 4 7 3 s in 2 c o s 22 8 8 8 8 6 4 6 4 2 4 1 6 8ffw t t w t t w t w t i i w t it w ttm w w w w w w m w w w w? ? ? ? ? ? ? ? ? (236) 這樣 ,含時受迫諧振子的演化算符可表達為 0 0 1 2 3? ? ?? ?( ) e x p ( ) e x p ( ) e x p ( ) e x p ( )U t b t K b t a b t a b t I?? （ 237） 演化波函數(shù)可進一步表達為 ?( ) ( )t U t??? 22**,011e x p 22 mt nm nmmnmww d t u w L w nuu ?? ? ?????? ? ? ? ????? ?? （ 238） 諧振子在含時均勻外場下躍遷概率的精確解 諧振子在弱外場作用下的躍遷是微 擾問題的典型例子 .但是隨著激光功率的加大 ,可以產(chǎn)生很強的電場和磁場 .這樣的激光束在與物質(zhì)相互作用時 ,不能再用微擾論處理 .該含時體系可以用不變量理論進行求解 [3].在此我們采用初等的方法求解諧振子在任意強度含時均勻外場作用下波函數(shù)的嚴格形式 ,并給出躍遷概率的精確解 . 16 體系的哈密頓是 2 22? 1? ()22pH mw x F t xm? ? ? (239) 其中 F(t)代表含時外場 .我們采用嘗試波函數(shù)的方式進行求解 .為此 ,設(shè)薛定諤方程 ( , )? ( , ) xtH x t i t?? ?? ? (240) 的解取如下形式 : ? ?( , )( , ) ( )i x t nx t e x q t?????? (241) 其中 Wn(x)是 2 220 ? 1? 22pH mw xm??的本征函數(shù) .指標 n=0,1,2,決定函數(shù) U(x,t)和 q (t)的方程 .將式 (241)代入式 (240),令實部和虛部分別相等 ,得到 : ()h mq tx?? ??? 2 2 211 ()22nE m q m w q m w q F t x? ??? ? ? ? ??? (242) 在推導的過程中利用了 0? ( ) ( )n n nH x E x??? 其中 12nE w n??.從式 (242)的第一式得 mqx?? ??? ,而由第二式有 2 ()mw q F tx?? ??? .要求二者一致給出 2 ()mq mw q F t?? （ 243） 這正是經(jīng)典含時受迫振子的運動方程 .利用式 (243),從式 (242)不難得到 ( , )xt? ? 2 2 201 ( ) ( )2tnE t mw q mq d mqx? ? ?????? ? ???????? （ 244） 我們看到解式 (241)是一形狀不變的波包 ,波包中心的運動符合經(jīng)典的運動方程式(243). 17 假設(shè)初始時體系處于狀態(tài) ()k x? ,我們想知道到 t 時刻體系躍遷到態(tài) ()mx? 的概率 2( ) ( , )k m m kW x x t??? ? （ 245） 計算時一個方便的選擇是引入諧振子的產(chǎn)生算符和湮沒算符 [4] ?a? 和 ?a ,它們與坐標和動量算符的關(guān)系是 1? ? ? ? ?( ) , ( )22 mwx a a p a am w i??? ? ? ? （ 246） 進一步注意到 : () ()() k kqpqx ixxk x p e e? ?? ?? ??? ? ? （ 247a） ? ? 2m qx qp m qx qp m qqi i i i ie e e e??? （ 247b） 體系在 t 時刻的波函數(shù)可被重新寫成 : 2* 1? ? ?()22 2( , ) ()km q q m q qii aa a a a x aak x t ke e e e e x?????? ?? ? ? ? ????? （ 248） 參數(shù) 22 ???? ? mwqmwqmi ??? , 222221211 qmwqmw ?? ???，將式（ 248）代入式（ 245），并利用 11? ?( ) 1 ( ) , ( ) ( )k k k ka x k x a x k x? ? ? ?? ??? ? ?，經(jīng)過一些運算后得到的概率振幅 212 1( ) ( )!!amkx x q e mk?? ???? * ()0000 ( ) ! ? ?( ) ( )! ! ( ) !lnmk m k l nlna a k x a a xl n k n ??? ? ???? ??? （ 249） 當 mk 時，有 2 2120( 1 )( ) ( ) ! ! ! ( ) ! ( ) !nnka mkmknax x q e a m k n k n m k n?? ? ???? ? ? ? ? ?? (250) 當 mk 時，有 2 2120( 1 )( ) ( ) ! ! ! ( ) ! ( ) !llka kmmklax x q e a m k l m l k m l?? ? ???? ? ? ? ? ?? (251) 形式上令 l=mk+n,(251)可以變成（ 250） ；令 n=km+l，式 (250)可以變成 (251)。 19 參 考 文 獻 [1]IU W S,LI X formulation of the Bogoliubov transformation and timeevolution operators for timedependent quantum oscillators[J].Europ hys Lett,20xx,58(5):639645 [2]WEI J,NORMAN E,LIE Solution of Linear Differential Equations[J],J ath phys,1993,(4):575 [3]Mizrahi s geometrical phase:an approach through the use of invariants[J]. Phys lett,1989,A138(9):465 [4]Peter R quantum theory of Motion[M],CAMBRIDGE 1993 [5]陸全康，趙惠芬。北京高等教育出版社， 1979。可以說，沒有老師 的幫助和指導，我完不成這分答卷，并且在論文的編輯過程中， 寧老師起了難以估
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