受迫量子諧振子若干問(wèn)題的討論_物理學(xué)畢業(yè)論文-全文預(yù)覽
【正文】 antum questions .This article first describes the classical harmonic oscillator, latter make a preliminary description of quantum mechanics harmonic oscillator, then discussed the pelled quantum harmonic oscillator in detail and give the Schr246。本文首先描述了經(jīng)典的受迫諧振子，后對(duì)量子力學(xué)中的諧振子作了初步描述，然后依據(jù)含時(shí)非齊 次波個(gè)留夫變換的公式體系詳細(xì)討論了受迫量子諧振子的薛定諤方程精確解并且用初等的方法探討了諧振子的躍遷幾率問(wèn)題 。dinger equation。了解諧振子問(wèn)題是物理學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)物理的基礎(chǔ)，其內(nèi)容包羅萬(wàn)象，對(duì)物理學(xué)的發(fā)展特別是近代量子力學(xué)的發(fā)展起了不可磨滅的作用，其在固體物理，統(tǒng)計(jì)力學(xué)以及一些相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用廣泛，學(xué)好諧振子有關(guān)知識(shí)是從事物理事業(yè)的基礎(chǔ)，從而可見(jiàn)諧振子模型在整個(gè)物理學(xué)尤其是近代物理學(xué)的發(fā)展和成熟中的舉足輕重的地位和難以估量的作用，現(xiàn)在諧振子問(wèn)題是物理學(xué)中非常實(shí)用的知識(shí)，在近代物理學(xué)，特別是近百年來(lái)量子力學(xué)的發(fā)展中有著不可忽視的作用，其處理方法為以 后研究物理，拓寬物理識(shí)，解決有關(guān)的物理問(wèn)題提供一點(diǎn)參考。 彈簧振子的動(dòng)力學(xué)特征 將小球看作質(zhì)點(diǎn)，彈簧自由伸長(zhǎng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置是平衡位置，依此為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系 0 x， x 表示質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，也相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)的位移，也就是彈簧的伸長(zhǎng)量，當(dāng) x 很小時(shí)，力 fx與 x 之間成線形關(guān)系，即： fx=kx (11) (k 是彈簧勁度系數(shù) )。 0? 稱為圓頻率。由上式可以分析振子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)化。? t +? ) 39。上式表明，隨時(shí)間的推移，質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)單調(diào)的趨于零，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)不僅使非周期的，甚至是不往復(fù)的，則稱這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為過(guò)阻尼狀態(tài)。? t＋ ? )＋ ?tA ?cos(0 )? （ 118） A和 ? 是由初始條件決定的積分常數(shù)，此解為兩項(xiàng)之和，表明質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)包含兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，第一項(xiàng)為阻尼振動(dòng)，隨時(shí)間的推移而趨向于消失，它反應(yīng)了受迫振動(dòng)的暫態(tài)行為，第二項(xiàng)表示與驅(qū)動(dòng)力頻率相同時(shí)振幅為 A0的周期振動(dòng)。體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，如分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等。因此在量子力學(xué)中研究一維諧振子的量子狀態(tài)便有普遍意義。 下面我們首先在坐標(biāo)表象中利用級(jí)數(shù)解法對(duì) 一維諧振子進(jìn)行求解。dinger 方程表為 )()(]212[ 22222 xExxdxd ????? ??? ? （ 23） 對(duì)束縛態(tài)必須滿足如下邊界條件： 0)(|| ??? xx ?時(shí)， (24) 令 ?? ???? .x??? ?? ?E2? () 將（ 24）代入（ 23）式得 ? ? ? ? ? ? 0222 ??? ???????dd （ 25） ? (或 x)有限的點(diǎn)是微分方程（ 25）式的常點(diǎn)，而 ???? 則為其非正則奇點(diǎn)。計(jì)算表明，在一般情況下，其解為一無(wú)窮級(jí)數(shù)，而當(dāng) ???|| 時(shí)，無(wú)窮級(jí)數(shù)解的漸近行為是2e)( ???? 。由（ 29）式和（ 25）式可知，諧振子的能量本征值為 ???? ?)21n(EE n n =0、 2… (211) 所以線性諧振子線性諧振子的能量只能取分離值，兩相鄰能級(jí)之差為 ?? ，對(duì)應(yīng)不同的n 或不同的 ? ，方程（ 29）有不同的解 )(Hn? ，稱為厄米多項(xiàng)式，即nnnn d ede)1()(H22???????，故對(duì)應(yīng)的波函數(shù)為： 2/12 ]!2/[),()( 22 nAxHeAx nnnxnn ???? ? ???? ? 其中 （ 212） 正交歸一化條件為 mndx)x(nm ???????? ??? （ 213） 其中對(duì)應(yīng)于最低的三條能級(jí)上的諧振子的波函數(shù)如下： ??????????????????????2/24/132/4/112/4/102222222)12(21)(2)()(xxxexxexxex?????????????? （ 214） 討論：（ 1） )(xn? 是與能量本征值 nE 對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)。按照經(jīng)典力學(xué) 觀點(diǎn)，基態(tài)諧振子只允許在 1|| ???x （即 1?? ）的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，而 1|| ???x 屬于經(jīng)典禁區(qū)，但按照量子力學(xué)中波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，粒子有一定幾率處于經(jīng)典禁區(qū)。就平均而言， n 愈大，量子結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果越接近，差別只在于 2|)(| ??n 作迅速振蕩。 3(0)x =0, 3(0)x = 01 (0) (0)2 AA?? 2 , 4 2 2 , 4 2 , 4( ) ( ) 0x P t x Q t x? ? ? （ 229） 2(0)x =1, 2(0)x =0。 ,0,1,2,3)我們就可按照方程 (228)— (231)求解非齊次波戈留波夫變換函數(shù) u(t),v(t)和 w(t).再由方程 (26)得到演化算符 ?()Ut的展開(kāi)系數(shù) bj(t).從而確定與此哈密頓系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間演化算符 (224). 假定初始態(tài)是一個(gè)相干態(tài) ? ,則演化態(tài) ()t? ? ?()Ut ? 具有形式 : 1( ) expt u? ? 2*2 2 2* * 2 * 2 *02 2 ( )tv u v w uv w v w k ww dtu?????? ?? ? ? ? ? ? ????? ?nuvHwuvwLuvwuvwn Mmnmmmnmn 22)(!1 2**2**, ???? ??? （ 232） 這里 nmmL? 是締合拉蓋爾多項(xiàng)式 ,Hm(? )是 n階厄米特多項(xiàng)式 . 含時(shí)受迫諧振子的演化算符和波函數(shù) 系統(tǒng)的哈密頓量為 ptGtxtFxmwmptH ?)()(?)(?212?)(? 222 ???? （ 233） 為了進(jìn)行更精確的計(jì)算 ,我們?cè)O(shè) F(t)=F0 sinwt,G(t)=G0 coswt,其中 F0 和 G0 是常數(shù) ,引入Dirac 算符 1 / 2? ? ?(1 / 2 ) ( )a mw mw x ip??和 它的共軛算符 ?a? 則 (232)式化為 *1? ? ? ? ?( ) ( ) ( )2H t a a w f t a f t a??? ? ? ? 00( ) s i n c o s22 mwf t F w i G w tmw? ? ? （ 234） 于是從方程 (228)— (231)我們解出 15 () iwut e? v(t)=0 (235) 由 (231),我們得到 00 , ( ) 2b b b t iw t??? ? ? ? 21 0 0 0 01 1 1( ) sin 2 sin 2 sin2 4 2 2 4 2 2 2t i m wwmb t G wt F t wt wt F Gw w m w w w m w? ? ? ? ? ? ? 222 0 01 1 1( ) s i n 2 s i n s i n 2 s i n2 4 2 2 2
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