【正文】 的演化方程與微分方程 (222),我們可以得 到參變量 ()jxt的兩個微分方程 : 1 ,3 1 1 ,3 1 ,3( ) ( ) 0x P t x Q t x? ? ? （ 228） 1(0)x =1, 1(0)x =0。 v2(t).我們也得到 ? ?110( ) ( ) ( ) I m ( ) ( ) ( ) R e ( )tw t u t v t A t i u t v t A t d t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? （ 231） 這樣從給定含時 SU(1,1)? h(4)哈密頓的參變函數(shù) Aj(t)(j=177。然后詳細討論了受迫量子諧振子，并且經(jīng)過運算，我們得出了受迫 諧振子薛定諤方程的精確解以及諧振子在均勻外場作用下的躍遷概率。量子力學(xué)教程 [M]。物理學(xué)報， 1999， 48（ 9）： 1601 [12]黨蘭芬 .含時諧振子系統(tǒng)的時間演化及壓縮態(tài) [J].物理學(xué)報 , 1998, 47(7): 10711077 [13]梁麥林 ,李玉蓉 .質(zhì)量和頻率隨時間變化的諧振子的經(jīng)典和量子精確解 [J].大學(xué)物理 , 20xx, 22(5):1516 [14]凌瑞良 .含時阻尼諧振子的傳播子與嚴(yán)格波函數(shù) [J].物理學(xué)報 , 20xx, 50(8): 14211424 20 致 謝 在論文的寫作過程中，得到系里有關(guān)老師的大力支持，特別是系里的指導(dǎo)教師 寧學(xué)峰的鼎力幫助，他 幫著我找資料，反復(fù)閱讀論文原稿，把不正確的問題挑出了給予指正，并熱情的講解在論文中用到的知識，直到能熟練掌握為止，為 此浪費了他許多寶貴的時間，在此表示衷心的歉意。 。總之，由于老師 的幫助，我順利的完成了這份畢業(yè)論文，在論文完成之即，向 寧 老師表示衷心的祝福和誠摯的謝意。 124127 [8] 蘇汝鏗 .量子力學(xué) [M].上海 :復(fù)旦大學(xué)出版社 ,1997 [9] 倪光炯 ,陳蘇卿 .高等量子力學(xué) [M].上海 :復(fù)旦大學(xué)出版社 ,20xx [10]陳本黎 ,曾民勇 .量子力學(xué)中的諧振子 [M].福州 :福建科技出版社 , 1989 [11]徐秀偉。第 2版數(shù)學(xué)物理方法 [M]。 18 我們來考慮一個特例 k=0，將式 (250)代入式 (245)得 2!2 ?? ?? ? eMWMMk (252) 此躍遷概率的極值在 2am? 處滿足關(guān)系 ?? ?Mqmmq ?? 222 2121 （ 253） 表明，當(dāng)經(jīng)典諧振子的能量等于第 m激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能量差時，體系最有可能躍遷到該態(tài)。 4(0)x =0, 4(0)x = 01 (0) (0)2 AA?? 其中 101( ) ln ( ) ( )2dP t A t A tdt ?? ? ? 201( ) ln ( ) ( )2dP t A t A tdt ?? ? ? （ 230） 2201( ) ( ) ( )4Q t A t A t??? 以上推導(dǎo)中 ,我們已用到 u(t)=u1(t)+iu2(t)和 v(t)=v1(t)+iv2(t),x1,2(t)=u1(t)177。 受迫諧振子薛頂諤方程的精確解 我們將在文獻 [1]提供的非齊次波戈留波夫變換的公式體系，以公式化的方法完成對受迫諧振子薛定諤方程的精確解的求解。 （ 3）在經(jīng)典力學(xué)中，在 ? 至 ?? d? 之間區(qū)域內(nèi)找到質(zhì)點幾率 ??? d)( 與質(zhì)點在此區(qū)域內(nèi)逗留的時間 dt 成比例，即 Tdtd ?? ??? )( （ 217） 式中 T 為振動周期， 有 TVdTdT ????1)(1)( ??? （ 218） 即幾率密度與質(zhì)點速度成反比。由于諧振子勢（ 21）式具有空 11 間反射不變性，所以 )(xn? 必有確定的宇稱，可證明： （ 215） 由上式可知，當(dāng) n=偶數(shù)時 ， )(0 x? 具有偶宇稱； n=奇數(shù)時， )(0 x? 具有奇宇稱。將其代入式（ 26），所得出的 ? 并不能滿足束縛態(tài)條件。下面首先討論方程（ 25）的解在 ???? 時的漸近行為。取振子平衡位置為坐標(biāo)原點，選原點為勢能零點，一維諧振子勢能為 （ 21) 式中 k是刻畫簡諧作用力強度的參數(shù)。 在經(jīng)典力學(xué)中，一維諧振子勢能為 221kx ，坐標(biāo)與時間的關(guān)系為 )sin( ?? ??? tax ，式 9 中 a 為振幅， ? 為初位相。然而在選擇合適的坐標(biāo)之后，對于一個復(fù)雜的振動往往可以分解成彼此獨立的若干個一維簡諧振動。 受迫諧振子的位移共振 對于一定的振動系統(tǒng)，在阻尼條件一定的條件下，最初振幅隨驅(qū)動力頻率的增大而增大，待達到最大值后，隨驅(qū)動力頻率的增大而減小，最后驅(qū)動力達到很高頻率而質(zhì)點幾乎不動。 （３）臨界阻尼狀態(tài) 如阻力的影響介于前兩者之前，且 ? ＝ 0? ，則方程（ 112）式的解可表示 ： x =( C1 + C2t )e? t （ 115） C１ 和 C2 由初始條件決定，此式仍不表示往復(fù)運動，由于阻力較前者為小，將質(zhì)點移開平衡位置釋放后，質(zhì)點很快回到平衡位置并停下來，這種運動狀態(tài)稱為臨界阻尼狀態(tài)。? = 220 ?? ? （ 113） A 和 ? 為待定系數(shù)．由初始條件決定，因子 Ae 2? 表示不斷隨時間而衰減的振幅，cos( 39。 阻尼諧振子 以上討論均假設(shè)質(zhì)點在振動過程中不受任何阻力，這只是理想的狀態(tài)，在現(xiàn)實中諧振子都是受到阻力的，在運動過程中都是在做振幅逐漸減小的運動，這種受到阻力的諧振子就稱為阻尼諧振子，它是諧振子的一種現(xiàn)實模型，下面我們就研究一下這種諧振子模型 。由于 0? 是由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定的，故稱 0? 為固有圓頻率。 以 m表示質(zhì)量，根據(jù)牛頓第 二定律知： m22dtxd =kx (12) 用 m除以上式兩端，并令 mk ＝ 20? 上式可寫作： m22dtxd ＋ 20? ＝ 0 （ 13） 式中的 0? 決定于彈簧的勁度系數(shù)和小球的質(zhì)量這就是彈簧振子的動力學(xué)方程 理想諧振子的運動學(xué)方程 根據(jù)運動學(xué)公式可知，如果已知理想彈簧振子中質(zhì)點的位置歲時間的變化規(guī)律，即運動學(xué)方程，就能充分描述質(zhì)點的運動狀況，下面我們就根據(jù)理想諧振子的動力學(xué)方程來求其運動學(xué)方程，并討論其運動學(xué)特征。 目前，由于含時受迫諧振子系統(tǒng)不但可以精確求解，而且在量子光場介觀電路系統(tǒng)等有著重要的應(yīng)用，含時受迫諧振子系統(tǒng)已經(jīng)成為研究的一個熱點，我們采用初級的方法對諧振子薛定諤方程進行了精確求解，并且解出 諧振子在含時均勻外場下躍遷概率的精確解。 transition probability。 關(guān)鍵詞 ： 受迫量子諧振子；薛定諤方程； 波函數(shù) ；躍遷幾率 ABSTRACT At present, the research of pelled Quantum harmonic oscillator have already bee a hot spot, this is the question we can give a exact solution in Qu