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泰勒公式與極值問題(已修改)

2025-05-11 13:21 本頁(yè)面
 

【正文】 第四節(jié) 二、中值定理與泰勒公式 三、極值問題 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二元函數(shù)的泰勒公式 第十七章 一、高階偏導(dǎo)數(shù) 一、高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ),(,),( yxfyzyxfxz yx ??????若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù), )( xz??)( yzx ????)( xzy ????),()( 22yxfyzyzy yy????????則稱它們是 z = f ( x , y ) 的 二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同 , 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo) 22xz???)。,( yxf xx? yxz???? 2),( yxf yx?)。,(2yxfxy z xy?????x??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 數(shù) : 類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù) . 例如, z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為 z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n –1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階 ) (y?? yxznn?????1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)為 yxe 22 ??例 1. 求函數(shù) yxez 2?? .23xyz???解 : ???xz???22xz) ( 223xyzxxyz????????????yz???? xy z2???? yx z2 ???22 yz注意 :此處 ,22xyzyxz???????但這一結(jié)論并不總成立 . yxe 2? yxe 22 ?yxe 2? yxe 22 ?yxe 22 ? yxe 24 ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的二階偏導(dǎo)數(shù)及 0,)(4 222224224????? yxyxyyxxxyfyf xxy ?????)0,0(),0(lim0?),( yxf y例如 , ?),( yxf x?)0,0(yxfxfxff yyxxy ??????)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等 yyy ?????? 0l i m 1??xxx ????? 0lim 1??),( yxf0,0 22 ?? yx0,)(4 222224224????? yxyxyyxxy0,0 22 ?? yx0, 222222???? yxyxyxyx0,0 22 ?? yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證 :令 ),(),(),( 0000 yxxfyyxxfyxF ??????????),(),()( 00 yxfyyxfx ?????則 ??? ),( yxFxyxxfyyxxf xx ????????? ]),(),([ 010010 ??),(),()( 00 yxfyxxfy ?????,),()()( 00 連續(xù)都在點(diǎn)和若 yxx ,yfx ,yf xyyx),(),( 0000 yxfyxf xyyx ?則 )()( 00 xxx ?? ???機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理 . 令 ),(),(),( 0000 yxxfyyxxfyxF ??????????同樣 )()( 00 yyy ?? ????yxyyxxf xy ??????? ),( 4030 ??)1,0( 43 ?? ??),(),( 0000 yxfyxf xyyx ?)()(因 yxfyxf xyyx , ,0?? x故令),( 4030 yyxxf xy ????? ??),( 2022 yyxxf yx ????? ??在點(diǎn) )( 00 yx , 連續(xù) , 得 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0??y證明 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如 , 對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) , 說明 : 本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立 . 函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo) 數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序 . 因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) , 當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù) 時(shí) , 有 而初等 復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù) 例 2. 證明函數(shù) 滿足拉普拉斯 0222222?????????zuyuxu證: ???22xu利用對(duì)稱性 , 有 ,3152322ryryu ?????22
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