泰勒公式與極值問(wèn)題-資料下載頁(yè)
2025-04-29 13:21本頁(yè)面
【正文】 BC的極值 . 求二階偏導(dǎo)數(shù) ,66),( ?? xyxf xx ,0),( ?yxf yx 66),( ??? yyxf yy,06122 ???? BAC ,0?A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在點(diǎn) (?3,0) 處 不是極值 。 在點(diǎn) (?3,2) 處 為極大值 . ,66),( ?? xyxf xx ,0),( ?yxf yx 66),( ??? yyxf yy,06122 ????? BAC,0)6(122 ?????? BAC ,0?A在點(diǎn) (1,2) 處 不是極值 。 ,0)6(122 ????? BACA B C機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 及 是否取得極值 . 解 : 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) , 在 (0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值 , 因此 z(0,0) 不是極值 . 因此 ,022 時(shí)當(dāng) ?? yx 222 )( yxz ?? 0)0,0( ?? z為極小值 . 正 負(fù) 0 在點(diǎn) (0,0) x yzo并且在 (0,0) 都有 可能為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 最值應(yīng)用問(wèn)題 函數(shù) f 在閉域上連續(xù) 函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) ???駐點(diǎn) 邊界上的最值點(diǎn) 特別 , 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在 , 且 只有一個(gè) 極值點(diǎn) P 時(shí) , )(Pf 為極小 值 )(Pf 為最小 值 (大 ) (大 ) 依據(jù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 3. 解 : 設(shè)水箱長(zhǎng) ,寬分別為 x , y m ,則高為 則水箱所用材料的面積為 令 得駐點(diǎn) 某廠要用鐵板做一個(gè)體積為 2 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在 , 的有蓋長(zhǎng)方體水 問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí) , 才能使用料最省 ? ,m2yx? ?yxyx 222 ???0)(2 22 ??? xx yA0)(2 22 ??? yy xA因此可 斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn) . 即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為 高為 時(shí) , 水箱所用材料最省 . )2,2( 3332322 2 233 ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 4. 有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板 , 把它折起來(lái)做成 解 : 設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為 x cm, 則斷面面積 x 24 一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽 , 傾角為 ? , ?c o s2224 xx ??(21 ?sin) x????? s inc o ss in2s in24 22 xxx ???x224 ?? x積最大 . )0,120:( 2?? ???? xD為 問(wèn)怎樣折法才能使斷面面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?co s24 x ?c o s2 2x? 0)s in( c o s 222 ??? ??x令 ?xA ?sin24 ?s in4 x? 0c o ss i n2 ?? ??x??A解得 : 由題意知 ,最大值在定義域 D 內(nèi)達(dá)到 , 而在域 D 內(nèi)只有 一個(gè)駐點(diǎn) , 故此點(diǎn)即為所求 . ,0s in ?? 0?x???? s inc o ss in2s in24 22 xxxA ???)0,120:( 2?? ???? xD0c o s212 ??? ?xx0)s in(c o sc o s2c o s24 22 ???? ???? xx(c m )8,603 ??? x???機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 1. 函數(shù)的極值問(wèn)題 第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn) . 即解方程組 第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) . ,),( yxfz ??????0),(0),(yxfyxfyx如對(duì)二元函數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二步 判別 ? 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 ? 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最值 第一步 找目標(biāo)函數(shù) , 確定定義域 2. 函數(shù)的最值問(wèn)題 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題 1. 求半徑為 R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者 . 解 : 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對(duì)的圓心角為 x , y , z ,則 ,2 ???? zyxzyx它們所對(duì)應(yīng)的三個(gè)三角形面積分別為 zRS s in2213 ?0,0,0 ??? zyx設(shè)拉氏函數(shù) )2(s ins ins in ?? ??????? zyxzyxF解方程組 0c o s ?? ?x, 得 32 ???? zyx故圓內(nèi)接正三角形面積最大 , 最大面積為 32s in322m ax??? RS .433 2R?0c o s ?? ?y0c o s ?? ?z02 ???? ?zyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束
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