復變函數(shù)與積分變換泰勒級數(shù)(已修改)
2025-08-31 09:37 本頁面
【正文】 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換泰勒級數(shù) z0 K z z 00()f z D z z r D zKDzK??設 函 數(shù) 在 區(qū) 域 內(nèi) 解 析 ， 而 為 內(nèi) 以 為中 心 的 任 何 一 個 圓 周 ， 記 作 ， 圓 周 及 它 的 內(nèi) 部 全 含 于 ，又 設 為 內(nèi) 任 一 點 。復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換按柯西積分公式 , 有 1 ( )( ) d ,2 πKffzizz zz? ??且 00 0 000010001 1 1 1( ) ( )1,()11,()nnnzzz z z z zzK z Kz z z zz z zz z zzzz z z???? ? ??? ? ? ? ???????? ? ??由 于 積 分 變 量 取 在 圓 周 上 點 在 的 內(nèi) 部所 以z0 K z z 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換1010 00101 ( ) d( ) ( )2 π ()1 ( )( ) d .2 π ()Nnnn KnnnNKff z z zizfzzizzzzzzz????????????????????????? ???由解析函數(shù)高階導數(shù)公式 ,上式可寫成 ()1000010()( ) ( ) ( )!1 ( )( ) ( )2 π ()nNnNnnN nnNKfzf z z z R znfR z z z dizzzz?????? ? ?????????????其 中z0 K z z 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換z0 K z z ()000l im ( ) 0 ,()( ) ( )!NNnnnR z Kfzf z z zn????????如 果 能 證 明 在 內(nèi) 成 立 則在 K內(nèi)成立 , 即 f (z)可在 K內(nèi) 用冪級數(shù)表達 . 000zzzzqzrz?????令 ，q與積分變量 z無關 , 且 0?q1. 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換 K含于 D, f (z) 在 D內(nèi)解析 , 在 K上連續(xù) , 在 K上有界 , 因此在 K上存在正實數(shù) M 使 | f (z) | ? M. 01π2π21d|||)(|π21d)()()(π21|)(|000010?? ???????????????????????????????? ?? ?NNNnnK NnnK NnnnNqMqrqrMszzzzfszzzfzRzzzzz復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換因此 , 下面的公式在 K內(nèi)成立 : ()000()( ) ( )!nnnfzf z z zn?????稱該等式為 f (z)在 z0點 的泰勒展開式 , 它右端的級數(shù)稱為 f (z)在 z0處的泰勒級數(shù) . 圓周 K的半徑可以任意增大 , 只要 K在 D內(nèi) . 所以 ,如果 z0到 D的邊界上各點的最短距離為 d,則 f(z)在 z0點的泰勒展開式在圓域 |zz0|d 內(nèi)成立 . 復變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數(shù)與積分變換定理 (泰勒展開定理 ) 設 f(z)在區(qū)域 D內(nèi)解析 ,z0為D內(nèi)的一點 , d為 z0到 D的邊界上各點的最短距離 ,則當 |zz0|d 時 , 00()0( ) ( )1, ( ) , 0 , 1 , 2 , .!nnnnnf z c z zc f z nn???????成 立 其 中 注 ：如果 f (z)在 z0解析 ,則使 f(z)在 z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑 R 等于從 z0到 f(z)的距 z0最近一個奇點a 的距離 , 即 R=|az0|.
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