復變函數與積分變換泰勒級數-免費閱讀
【正文】 3)在 2|zi|+?中的洛朗展開式 。 復變函數與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數與積分變換21( ) 0 1 ,( 1 )0 | | 1 0 | 1 | 1 . 0 | | 11 1 1 1( ) 1 .( 1 ) 1, ( ) 0 | | 1 .? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????函 數 在 及 都 不 解 析 但 在 圓 環(huán) 域及 內 都 是 解 析 的 先 研 究 的 情 形 :由 此 可 見 在 內 是 可 以 展 開 為 z 的 冪 級 數nf z z zzzz z zf z z z zz z z z zf z z其次 ,在圓環(huán)域 :0|z1|1內也可以展開為 z1的冪級數 : 21 2 11 1 1()( 1 ) 1 1 ( 1 )1[ 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]1( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnfzz z z zz z zzz z z z?????? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 O x y 復變函數與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數與積分變換定理 設 f (z)在圓環(huán)域 R1 |z?z0| R2內解析 , 則 010( ) ( )1 ( )d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()nnnn nCf z c z zfizzzz?? ? ????? ? ? ????其 中C為在圓環(huán)域內繞 z0的任何一條正向簡單閉曲線。2?R則其收斂半徑,)(61)(02 ????????nnn izCzzzf ?則 其 收 斂 半 徑復變函數與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數與積分變換而如果把函數中的 x換成 z, 在復平面內 ,函數 2 4 621 1 + +1 z z zz ? ? ??它有兩個奇點 ?i, 且都在此函數展開式的收斂圓周上 , 所以這個級數的收斂半徑只能等于 1。 (即使冪級數在其收斂圓周上處處收斂 ) 復變函數與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數與積分變換例如： )(02 zfnznn???? 1,?在 上 絕 對 收 斂z),1(21)(1????????znzzzfn??但??? )(1 zfz 時：近于沿實軸從單位圓內部趨當是一個奇點。 當 時 , 原 級數 處 處 發(fā) 散復變函數與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數與積分變換在收斂圓環(huán)域內具有 冪級數在收斂圓內的許多性質 。 函數可以在以 z0為中心的 (由奇點隔開的 )不同圓環(huán)域內解析 , 因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式 (包括泰勒展開式作為它的特例 ). 我們不要把這種情形與洛朗展開式的唯一性相混淆 . 所謂洛朗展開式的唯一性 , 是指函數在某一個給定的圓環(huán)域內的洛朗展開式是唯一的 . 復變函數與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數與積分變換 例如在 z=i和 z=i處將函數 展 為洛朗級數。 復變函數與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數與積分變換特別的，當洛朗級數的系數公式 101 ( ) d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()n nCfizz zz ?? ? ? ???1n ?? 時 ， 有 ???CdzzfiC )(2 11 ? 12)( ??? ? CidzzfC ?（即可利用 Laurent系數計算積分） 其中 C為圓環(huán)域 R1|zz0|R2內的任何一條簡單閉曲線 ,f(z)在此圓環(huán)域內解析。 iii) 2|z| +? 內是處處解析的 , 可把 f(z)在這些區(qū)域內展開成洛朗級數 . ? ? ? ? ? ?11 12? ??例 把 在 復 平 面 上 展 開 為 的 冪 級 數 。 | | 1x ?復變函數與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復變函數與積分變換洛朗級數 一個以 z0為中心的圓域內解析的函數 f (z), 可以在該圓域內展開成 zz0的冪級數 . 如果 f (z)在 z0處不解析 , 則在 z0 的鄰域內就不能用 zz0的冪級數來表示 . 但是這種情況在實際問題中卻經常遇到 . 因此 , 在本節(jié)中將討論在以 z0 為中心的圓環(huán)域內的解析函數的級數表示法 . 討論下列形式的級數 : 1
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