復(fù)變函數(shù)與積分變換泰勒級(jí)數(shù)-全文預(yù)覽
【正文】 2 3 ( 1 ) , | | 1.( 1 )nnz z nz zz??? ? ? ? ? ? ? ?? 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換例 2 求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值 ln(1+z)在 z=0處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 . [解 ] ln(1+z)在從 1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)是解析的 , 1是它的奇點(diǎn) , 所以可在 |z|1展開(kāi)為 z的冪級(jí)數(shù) . ?1 O x y 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換01[ l n ( 1 ) ] ( 1 ) ,1nnnzz z???? ? ? ?? ?因 為 逐 項(xiàng) 積 分 得0 0 01 d d ( 1 ) d ,1z z z nnz? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ?2 3 1l n ( 1 ) ( 1 ) | | 1 .2 3 1nnz z zz z zn?? ? ? ? ? ? ? ? ??即復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換?解析在函數(shù) 0)( zzf的冪級(jí)數(shù)的某鄰域內(nèi)可展開(kāi)為在 00)( zzzzf ??解析在區(qū)域函數(shù) Dzf )(0()f z D z z?在 內(nèi) 任 一 點(diǎn) 處 可 展 開(kāi) 為 的 冪 級(jí) 數(shù)推論 1： 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換 注： 解析的等價(jià)條件：在區(qū)域函數(shù) Dzf )(內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)域函數(shù) Dzf )()1(條件，內(nèi)可微，且滿(mǎn)足在區(qū)域 RCDvu ?,)2(關(guān)；內(nèi)連續(xù)且積分與路徑無(wú)在區(qū)域函數(shù) Dzf )()3(內(nèi)可展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)在區(qū)域函數(shù) Dzf )()4(推論 2: 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn)。2?R則其收斂半徑,)(61)(02 ????????nnn izCzzzf ?則 其 收 斂 半 徑復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換而如果把函數(shù)中的 x換成 z, 在復(fù)平面內(nèi) ,函數(shù) 2 4 621 1 + +1 z z zz ? ? ??它有兩個(gè)奇點(diǎn) ?i, 且都在此函數(shù)展開(kāi)式的收斂圓周上 , 所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于 1。因此 , 只有在 R1|zz0|R2的圓環(huán)域 , 原級(jí)數(shù)才收斂 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換z0 R1 R2 例如級(jí)數(shù) 10110(), 1 ,| | | | ,| | | | . | | | || | | | | | | | | |.nnnnnnnnnnnnnnazabzba a az z zzzabz b a ba z b a b??????????????????????? ? ??????與 為 復(fù) 常 數(shù)中 的 負(fù) 冪 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 當(dāng)即 時(shí) 收 斂 而 正 冪 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 則 當(dāng)時(shí) 收 斂 所 以 當(dāng) 時(shí) , 原 級(jí) 數(shù) 在圓 環(huán) 域 收 斂 。 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換21( ) 0 1 ,( 1 )0 | | 1 0 | 1 | 1 . 0 | | 11 1 1 1( ) 1 .( 1 ) 1, ( ) 0 | | 1 .? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????函 數(shù) 在 及 都 不 解 析 但 在 圓 環(huán) 域及 內(nèi) 都 是 解 析 的 先 研 究 的 情 形 :由 此 可 見(jiàn) 在 內(nèi) 是 可 以 展 開(kāi) 為 z 的 冪 級(jí) 數(shù)nf z z zzzz z zf z z z zz z z z zf z z其次 ,在圓環(huán)域 :0|z1|1內(nèi)也可以展開(kāi)為 z1的冪級(jí)數(shù) : 21 2 11 1 1()( 1 ) 1 1 ( 1 )1[ 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]1( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnfzz z z zz z zzz z z z?????? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 O x y 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換定理 設(shè) f (z)在圓環(huán)域 R1 |z?z0| R2內(nèi)解析 , 則 010( ) ( )1 ( )d . ( 0 , 1 , 2 , )2 π ()nnnn n
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