泰勒公式的若干問題研究畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-20 01:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2200()!fx?+? 00()!nnfx??()Rx其中 。nR0no定義 [1] 帶有 Lagrange 型余項(xiàng)的泰勒公式:函數(shù) 在含有 的某個(gè)開區(qū)間 內(nèi)具有直到 階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)()fx0(,)ab1n?有 ,ab??f?0()f?0)fx???2200()!fx?? 00()!nnfx?+，()nRx其中 。n?(1)10)!nnfx????在以上兩個(gè)定義中，如果我們?nèi)√厥獾?，則得到相應(yīng)的麥克勞林公式。0x?定義 [1] 麥克勞林公式(Maclaurin 公式)濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 6 。()fx?0()fx??? (0)()!nnfxR?其中 = ( )。()nR(1)1!nnf???以上，我們給出了泰勒公式的幾種形式，下面我們從拉格朗日中值定理出發(fā)，給出不同于課本上的證明泰勒公式的方法。 泰勒公式的證明 下面我們首先討論帶有 Lagrange 型余項(xiàng)的泰勒公式的證明問題，主要是根據(jù)拉格朗日中值定理來討論泰勒公式的證明。證明：由拉格朗日中值定理知,若 在 的某鄰域 內(nèi)可導(dǎo)，則()yfx?0D,其中 介于 與 之間，即0()fx??10()fx???1?0 。 010()()fxfx????2.若將 代替 式中的 ，則產(chǎn)生誤差記為 。0x()1?1()Rx則 。 001()()()fxfRx?????2.現(xiàn)在問， 的具體形式是什么?1()Rx當(dāng) 時(shí)，由洛必達(dá)法則知 與 為當(dāng) 時(shí)的同階無窮小。0f??20()x?0x? ， 待定。這樣 式變?yōu)?211())xK??12.) 。 20220()(()fxfxKx????()如何確定呢 對(duì) 式兩邊關(guān)于 求導(dǎo)，得1K?()x 。 010()2()fxfK?????()濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 7 若函數(shù) 在鄰域 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理，有()fxD 。 020()()fxffx???????介于 與 之間。2?0x由 和 式得 ，(.4).512()!Kf???。 20()Rxfx??()這樣 。 20221()()()()2!fxfxfxRx????????.7同樣可知， 與 為 時(shí)的同階無窮小，則 ，并代2()Rx30)?0x?3220())xKx?入 式，得(.7)。20221()()()2!fxfxfx??????30+()x為了確定 ,對(duì)上式兩邊關(guān)于 求二次導(dǎo)數(shù)，得2K 。 020()3!()fxfKx???.8若 在鄰域 內(nèi)有三階導(dǎo)數(shù)，則由拉格朗日中值定理有()fxD 。 030()()fxffx???????介于 與 之間。由 和 式知 。3?0x(). 31()Kf??！并代入 式，得32301()()!Rfx????7，230030()()()2!!fxfxfx?????????濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 8 仿此可推得，20221()()()2fxfxfx??????? ()01)()!nnfxRx??其中 ， 介于 與 之間。(1)10(!nnnRf???0從整體推導(dǎo)過程可知，函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)必須具有 至 階導(dǎo)數(shù)才行。這()fx0 1n?樣就自然地得到拉格朗日泰勒公式。 下面我們用一種不同的方法證明帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式。 證明:設(shè) ， ，()()nnRxfTx??0())nnQx??現(xiàn)在只需驗(yàn)證明 0lim()xn?函數(shù) 在點(diǎn) 存在直到 階導(dǎo)數(shù)，又知?f易知()200 0000 00()()() )()1!!!n nnfxfxfxTxf x????????????， =0,1, ，因?yàn)?而()()00kknf ? n()000()()nnnRR????，(1)0nQxQx????? ()!x因?yàn)?存在，所以在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi) 存在 階導(dǎo)函數(shù) ，于是，()0f 0Uf1?()fx當(dāng) 且 時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)法則 次，得到oxU?0x?n000(1)()()limlilimnnnxxxRR????? = 0(1)(1)()0)li 2nnnxfffx??? = 0(1)(1)()00li[ ]!nnnxfffx??? =0。這就證明了帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，當(dāng) 時(shí)可同理證明帶有麥克勞林公式0x?的泰勒公式。濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 9 3 泰勒公式的應(yīng)用 第 2 部分我們給出了泰勒公式的幾個(gè)基本形式及泰勒公式的證明，在此基礎(chǔ)上，我們利用泰勒公式來解決一些問題，這些問題利用其他的方法往往比較困難，而運(yùn)用泰勒公式可以使問題變得簡(jiǎn)單。下面我們研究泰勒公式的應(yīng)用問題，主要包括在計(jì)算行列式，利用泰勒公式證明斂散性，判斷函數(shù)的凹凸性等方面的應(yīng)用。 泰勒公式在計(jì)算行列式中的應(yīng)用 在代數(shù)學(xué)中，有關(guān)利用代數(shù)知識(shí)計(jì)算行列式的方法很多，但應(yīng)用泰勒公式法極為少見，下面讓我們從泰勒公式入手，利用泰勒展開式計(jì)算行列式。首先看一個(gè)具體的例子。例 求 階行列式n濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 10 。 ()nD?xyyzzx???? ? ? ? ??(注:此題可用代數(shù)知識(shí)的遞推法以及數(shù)學(xué)歸納法求解，但非常繁瑣，此題我們利用泰勒公式求解，達(dá)到簡(jiǎn)便的作用。其思路根據(jù)所求行列式的特點(diǎn)，構(gòu)造相應(yīng)的行列式函數(shù)，再把這個(gè)行列式函數(shù)按泰勒公式在某點(diǎn)展開)解：我們把行列式 看成 的函數(shù)，記 = ，則 在 的泰勒展開式nDx()nfxnD()nfxz?為 。 ()2()()()()1!!!nnnnnfzfzfzfxxxx??????????易知 。 ()0000zyyzyDzy??????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1()kzy?由()得， ， =1,2,…,n 時(shí)全都成立。 1())kkfzy??()根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則，有 ， ，… ，1()()nnfxf???12()()nnfxfx???， (因?yàn)?)。21???于是 在 處的各階導(dǎo)數(shù)(注意到公式 ) 為()nfxz?，21)(|())nnxznfffzy?????， 3(| (zz?… … … … ，111()()|()2())2nnxzff fznz?????? ?。()n???把以上各導(dǎo)數(shù)代入() 式中，有濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 11 12 32(1)())()()()!!nn nn nfxzyzyxzzyxz?? ???????,12()n n?? ?若 ，有 。若 ，有 。zy???1()()nnfxyxy???z?()())nnnzxyzf??以上我們就討論了泰勒公式的在計(jì)算行列式方面的應(yīng)用，特別是利用泰勒公式求解行列式這一方法在高等代數(shù)中沒有介紹過，從而使行列式的求解又多了一種新方法，也為數(shù)學(xué)分析研究高等代數(shù)問題做了一個(gè)初步探索，以便為高等代數(shù)的教學(xué)起到促進(jìn)作用。接下來我們討論泰勒公式在判別級(jí)數(shù)及無窮積分?jǐn)可⑿苑矫娴膽?yīng)用。 泰勒公式在判別斂散性方面的應(yīng)用在級(jí)數(shù)斂散性理論中，要判定一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是否收斂，通常找一個(gè)參考級(jí)1na???數(shù)： 級(jí)數(shù) ( )，根據(jù) 級(jí)數(shù)的斂散性來判定級(jí)數(shù) 的斂散性。在實(shí)際p1pn???0?p1n??應(yīng)用中較困難是如何選取恰當(dāng)?shù)?( 中的 值) ？例如1pn??0?p(1) 若 ，此時(shí) 收斂，但 ；2p?21n?2limna???(2) 若 ，此時(shí) 收斂，但 。1n???li1n?0? 這里我們無法判定 的斂散性。為了有效地選取 中的 值，可以應(yīng)用1na?? 1pn???泰勒公式研究通項(xiàng) ( )的階，據(jù)此選取恰當(dāng)?shù)?值使 ，并且保0n?limnpa??l?證 ，再由比較判定法(極限形式)就可判定 的斂散性，下面舉例說明之。0l???1na??濟(jì)南大學(xué)畢業(yè)論文 12 例 判定級(jí)數(shù) ( )的斂散性。1+(2na?
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