泰勒公式及其若干應(yīng)用-學(xué)年論(編輯修改稿)
2025-02-02 05:27 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ),然后再對(duì)兩邊積分證得結(jié)果 . 利用泰勒公式求極限 在需要用到泰勒公式時(shí) ,必須要搞清楚三點(diǎn)：（ 1）展開(kāi)的基點(diǎn)；（ 2）展開(kāi)的階數(shù)；（ 3）余項(xiàng)的形式 . 其中余項(xiàng)的形式 ,一般在求極限時(shí)用的是帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式 ,在證明不等式時(shí)用的是帶拉格朗日型余項(xiàng)的 泰勒公式 . 而基點(diǎn)和階數(shù) ,要根據(jù)具體的問(wèn)題來(lái)確定 . 為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算 ,有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式來(lái)代替該項(xiàng) ,使得原來(lái)函數(shù)的極限能簡(jiǎn)便的求出 . 4 例 2:求極限)3(211ln3)76(s in6lim2202xxxxxxxe xx ???????? 分析：本題如果不用泰勒公式 ,直接用洛必達(dá)法則 ,也能計(jì)算 ,但必須要用六次洛必達(dá)法則 ,而且導(dǎo)數(shù)會(huì)越求越復(fù)雜 . 用泰勒公式就會(huì)方便得多．基點(diǎn)當(dāng)然取在 0?x 點(diǎn) ,余項(xiàng)形式也應(yīng)該肯定是皮亞諾型余項(xiàng)．問(wèn)題是展開(kāi)的階數(shù)是幾？一般是這樣考慮 :逐階展開(kāi) ,展開(kāi)一項(xiàng) ,消去一項(xiàng) ,直到消不去為止． 首先將分子上函數(shù) xx sin6e 2? 進(jìn)行展開(kāi) ,為此寫(xiě)出 2ex? 和 sinx 的泰勒展開(kāi)式． 2ex? 的第一項(xiàng)是 1, xsin 的第一項(xiàng)是 x ,所以 xx sin6e 2? 的第一項(xiàng)是 x6 ,與后面的 6x 消去了．再將它們展開(kāi)一項(xiàng) ,得到 xx sin6e 2? 的前兩項(xiàng)是 376 xx? ,所以還要將他們?cè)僬归_(kāi)一項(xiàng) ,對(duì)分母也是一樣 . 解： )(!211e 5422 xoxxx ????? )(!51!31s in 653 xoxxxx ???? )(402767s i ne 5532 xoxxxxx ????? )(51413121)1l n( 55432 xoxxxxxx ??????? )(51413121)1l n( 55432 xoxxxxxx ???????? )(52322)1l n()1l n(11ln 553 xoxxxxxxx ?????????? 原式)(56)(4027lim55550 xoxxoxx ??? ? 169? 利用泰勒公式判斷函數(shù)極值 討論函數(shù)極值通用的方法是：當(dāng) 39。 0()fx 0? 且 39。39。 0()fx 0? （或 39。39。 0()fx 0? ）時(shí) , 0()fx 是()fx的極?。ù螅┲?.但如果此時(shí) 39。39。 0()fx? 0 ,此方法不能判別 0x 是否為極值點(diǎn) ,可用泰勒公式 . 比如：若 ()fx在點(diǎn) 0x 處一、二、三階導(dǎo)數(shù)全為 0 ,由泰勒公式 5 0()fx ? 0()fx ( 4 ) 440 00() ( ) ( ( ) )4!fx x x o x x? ? ? ? 可知 ,當(dāng) (4) 0()fx0? 時(shí) , ()fx在 0x 處取得極小值 。當(dāng) (4) 0()fx0? 時(shí) , ()fx在 0x 處取得極大值 . 例 3:已知函數(shù) ()fx 在 xa? 鄰域內(nèi)二階可導(dǎo) , 39。39。 0()fx 0? 且當(dāng) xa? 時(shí)取得極小值( ) 0fa? ,問(wèn) 2( ) 3 ( ) ( ) 1g
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