格林公式及其應(yīng)用ppt課件(編輯修改稿)
2025-02-15 22:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 格林公式計算區(qū)域的面積 .LDQPP d x Q d y d x d yxy?????? ? ???????? ??O2. 平面第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件 設(shè) G是一個開區(qū)域 ? P(x? y)、 Q(x? y)在區(qū)域 G內(nèi)具有一階 連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ? 與路徑無關(guān) ? 否則說 與路徑有關(guān) ??? 如果對于 G內(nèi)任意指定的兩個點 A、 B以及 G內(nèi)從點 A到點 B的任意兩條曲線 L L2? 等式 這是因為 ? 設(shè) L1和 L2是 D內(nèi)任意兩條從點 A到點 B的曲線 ? 則 L1?(L2?)是 D內(nèi)一條任意的閉曲線 ? 而且 有 ??在 D 意一條簡單逐段光滑 閉曲線 的曲線積分 曲線積分 內(nèi)與路徑無關(guān) 沿 D 內(nèi)任 AB P dx Q dy? ??? ? Qdy Pdx =0 C? 定理 2 (曲線積分與路徑無關(guān)的判斷方法 ) ? ) ( 閉曲線的曲線積分為零 則曲線積分 ? ? L Qdy Pdx 在 D 內(nèi)與路徑無關(guān) 或沿 D 內(nèi)任意 ? ( ? ) ? 數(shù) 設(shè) 函數(shù) P x y 及 Q ( x y ) 在 單連通域 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo) 在 D 內(nèi)處處成立 PQyx???????證 充分性 已知上述等式在 D內(nèi)處處成立 .在 D內(nèi)任 ? ? ?C Q d yP d x .)(1dx dyyPxQD ?????? ??.001?? ?? d x d yD取一簡單閉曲線 C，記 C所圍之區(qū)域為 .由于 D是單連通區(qū)域，因而 被包含在 D內(nèi)，于是在區(qū)域 上用格林公式得 1D1D 1D， D C 1D積分與路徑無關(guān) 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 必要性 我們假定上述積分與路徑無關(guān)，要證明等式 在 D內(nèi)處處成立 . xQyP????? 用反證法 . 設(shè)在 D內(nèi)一點 處 0M上述等式不成立，不妨設(shè) .0|)(0??????? ayPxQ M由假設(shè)可知函數(shù) 在 D內(nèi)連續(xù) .因而在 D內(nèi)存在 以 為圓心以充分小的正數(shù) r為半徑的小圓域 ，使在整 上，有 設(shè) 的邊界線為 ，在 上 用格林公式，有 yPxQ?????0D0M0D .2ayPxQ ?????? 0D 0C 0D? ?0C Q d yP d x dx dyyPxQD)(0?????? ?? .022 ??? ra ?上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 但 是 D 內(nèi)的簡單閉曲線，由證明假設(shè)及前面命題，應(yīng) 有 于是發(fā)生矛盾 .證畢 , . 0C.00???C Q dyP dx應(yīng)用定理 2應(yīng)注意的問題 (1)區(qū)域 D是單連通區(qū)域 ???????????(2)函數(shù) P(x? y)及 Q(x? y)在 D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ??????????如果這兩個條件之一不能滿足 ? 那么定理的結(jié)論不能保證成立 ? 討論 ? 設(shè) L為一條無重點 、 分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲 線 ? L的方向為逆時針方向 ? 問 是否一定成立？ 提示 ? 在例 4中已看到 ,當 L所圍成的區(qū)域含有原點時 ,上面的閉路積分不等于 0,其原因在于區(qū)域內(nèi)含有破壞函數(shù) P,Q,及 ,QPxy????連續(xù)性條件的點 O. 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 例 6 求曲線積分 ? ? ???AO dyyyxdxyx ,)s i n()( 322.),20()2(AO 沿逆時針方向是上半圓周其中 ????? xxxy解 .s i n),(,),( 322 yyxyxQyxyxP ????這里,1 xQyP ??????因為 又它們在全平面上連續(xù)，所以積分與路徑 無關(guān) .取下列直線段 為積分路徑： AO.0),20(,0: ???? dyxyAO? ? ???AO dyyyxdxyx ,)s i n()( 322? ???? AO dyyyxdxyx )s i n()( 322 .38022 ??? ? dxxo x y A 上頁 下頁 鈴 結(jié)束 返回 首頁 ? ? ???AB dyyyxdxyx )s i n()( 322 當曲線積分 與路徑無關(guān)時，它只是起點 A 與 點Ｂ的函數(shù)，可記作 ? ?BA Q d xP d x . 下面我們給出第二型曲線積分與路徑無關(guān)的另一個充分條件 . 定理 3 設(shè)函數(shù) P(x? y
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