泰勒公式及應(yīng)用論文(編輯修改稿)
2024-07-20 01:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 時(shí)，得到泰勒公式： 稱為（帶有拉格朗日余項(xiàng)的）麥克勞林公式。 帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式 如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在直至階導(dǎo)數(shù),則對(duì)此鄰域內(nèi)的點(diǎn)有：當(dāng)時(shí)，上式稱為（帶有佩亞諾余項(xiàng)的）麥克勞林公式。 帶有積分型余項(xiàng)的泰勒公式 如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù),令,則對(duì)該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn),在和之間至少存在一個(gè)使得：其中就是泰勒公式的積分型余項(xiàng)。 如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù),令,則對(duì)該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn)有： 當(dāng)時(shí)，又有 其中,都稱為泰勒公式的柯西型余項(xiàng)。2 泰勒公式的應(yīng)用 利用泰勒公式求極限 應(yīng)用泰勒公式求極限時(shí),常用到的展開式有：； ；；； ； ； 上述展開式中的符號(hào)表示當(dāng)時(shí),它是一個(gè)較高階的無窮小,亦即有:。根據(jù)這個(gè)定義容易驗(yàn)證:當(dāng)時(shí)有: ； ； ； ； 。 例1 求的極限。 分析：此為型極限，若用羅比塔法則很麻煩。這時(shí)可將和分別用其泰勒展開式代替，則可簡化此比式。 解:利用展開式:，,由此可得: ，所以: 。 例2 求極限。 分析：此式分子含有根號(hào)項(xiàng)，用洛比達(dá)法則也可以求解，不過比較繁瑣。若使用泰勒公式可以將問題大大簡化。 解：將、在點(diǎn)的麥克勞林公式展開到項(xiàng)得： ， ，則原式= = =。 例3 求極限。 解：由于，從而有。 總結(jié)：用泰勒公式計(jì)算極限的實(shí)質(zhì)是利用等價(jià)無窮小的替代來計(jì)算極限。我們知道，當(dāng)時(shí)，等，這種等價(jià)無窮小其實(shí)就是將函數(shù)用泰勒公式展開至一次項(xiàng)，有些問題用泰勒公式和我們已經(jīng)熟知的等價(jià)無窮小法相結(jié)合，問題又能進(jìn)一步簡化。 利用泰勒公式證明不等式及中值問題 如果函數(shù)的二階及二階以上導(dǎo)數(shù)存在且有界則用泰勒公式去證明這些不等式。 例1 設(shè)，證明當(dāng)時(shí)成立,且等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立。 證明：在上二階可導(dǎo)，且有 ；以及 ；于是，對(duì)應(yīng)用在處的帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式得： ，且等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立。 例2 設(shè)函數(shù)在上二次可微，且，試證：存在一點(diǎn)，使。 分析：在上二次可微，且最小值，所以在內(nèi)一定有極值點(diǎn)，該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，題中可知二次可微，從這點(diǎn)我們可以想到使用泰勒公式，而要證明的結(jié)論中右邊是一個(gè)常數(shù)，故選在最小值點(diǎn)處泰勒展開。 解：不妨設(shè)為在上的最小值點(diǎn),則，在處的泰勒公式： ，是介于與之間的某個(gè)值。當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故綜上，存在一點(diǎn)使。 例3 設(shè)，且，證明。 證明：由知：，又存在,故連續(xù), 所以，所以，因
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