【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1 ) l im ( ( ) ) l im 1222x x x o xx x x x oxx xxx? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???. 帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒 公 式在極限運(yùn)算中是個(gè)有力的工具 ,熟練掌握會(huì)使函數(shù)極限運(yùn)算變得簡(jiǎn)單 . 判斷函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn) 泰勒展開(kāi)式在各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用 ,不少書(shū)中利用它來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值 .同樣可以嘗試?yán)锰├照归_(kāi)式來(lái)研究函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn) . 例 5 設(shè) ()fx在 ? ?,ab 上連續(xù) ,且 在 (,)ab 上具有一階和二階導(dǎo)數(shù) .若在 (,)ab 內(nèi) ( ) 0fx?? ? ,則 ()fx為 ? ?,ab 的凸函數(shù) . 證明 : 設(shè) cd? 為 ? ?,ab 內(nèi)任意兩點(diǎn) ,且 ? ?,cd 足夠小 . 12xx? 為 ? ?,cd 中的任意兩點(diǎn) ,令120 2xxx ?? ,將 ()fx在 0x 處按 帶佩亞諾型余項(xiàng)的 泰勒 公 式展開(kāi) ,有 2200 0 0 0 0()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )2!fxf x f x f x x x x x o x x???? ? ? ? ? ? ?. （ 1） 將 12,xx分別代入（ 1）式中 ,得到 2201 0 0 1 0 1 0 1 0()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )2!fxf x f x f x x x x x o x x???? ? ? ? ? ? ?, （ 2） 2202 0 0 2 0 2 0 2 0()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )2!fxf x f x f x x x x x o x x???? ? ? ? ? ? ?. （ 3） （ 2）加（ 3） ,得到 2 2 2 2020 2 0 0 1 0 0 2 0 1 0 1 0 2 0 2 0( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )2 ! 2 !f x f xf x f x f x f x x x f x x x x x o x x x x o x x?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 因?yàn)楹瘮?shù) ()fx泰勒 公 式中的佩亞諾型余項(xiàng)為 20()xx? 的高階無(wú)窮小量 ,而 ? ?12,xx 又 足夠小 ,因此可以得到 22000() ( ) (( ) )2!fx x x o x x?? ? ? ?的符號(hào)與 0()fx?? 相同 .另一方面 ,又因?yàn)?120 2xxx ??,所以 0 1 0 0 2 0( ) ( ) ( ) ( ) 0f x x x f x x x??? ? ? ?,從而有 天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 泰勒展開(kāi)式中余項(xiàng)的應(yīng)用 7 221 0 2 0 221 2 0 0 1 0 2 0( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 02!x x x xf x f x f x f x o x x o x x??? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?. 即1 2 0( ) ( ) 2 ( ) 0f x f x f x? ? ?,故 1 2 1 20 ( ) ( )( ) ( )22x x f x f xf x f ????. 由 12,xx的任意性可得 , ()fx在足夠小的區(qū)間 ? ?,cd 上是凸函數(shù) .再由 ,cd的任意性可得 ()fx在 ? ?,ab 內(nèi)任意一個(gè)足夠小的區(qū)間內(nèi)部都是凸函數(shù) ,從而 ()fx在 ? ?,ab 內(nèi)是凸函數(shù) . 本題的關(guān)鍵在于利用泰勒展開(kāi)式的余項(xiàng)建立了三個(gè)等式，進(jìn)而進(jìn)行推理證明。 例 6 如果 ()fx在某 ? ?0,Ux? 內(nèi) n 階可導(dǎo) ,滿(mǎn)足 ? ? ? ? ? ? ? ?10 0 0.. . 0nf x f x f x?? ??? ? ? ?,并且? ?? ? ? ?0 02nf x n??.證明 :若 n 為奇數(shù) ,則 ? ?? ?00,x f x 為拐點(diǎn) 。若 n 為偶數(shù) ,則 ? ?? ?00,x f x 不是拐點(diǎn) . 證明 : 將導(dǎo)函數(shù) ??fx?? 在點(diǎn) 0x 處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式展開(kāi) ,有 ( ) 2 2000 0 0 0( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( 2 ) !nn nf x x xf x f x f x x x o x xn ? ???? ?? ???? ? ? ? ? ? ??? 由于 ( 1 )0 0 0( ) ( ) ( ) 0nf x f x f x?? ??? ? ? ??,代入上式中有 ( ) 2 2000( ) ( )( ) ( ( ) )( 2 ) !nn nf x x xf x o x xn ? ???? ? ? ??. 又因?yàn)樘├?展開(kāi)式的余項(xiàng)為 20()nxx?? 的高階無(wú)窮小 ,所以在 ? ?0,Ux? 內(nèi)有 ()fx?? 與( ) 200( )( )( 2)!nnf x x xn ??? 同號(hào) .從而可以得到當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) ,在點(diǎn) 0x 的兩邊 , ? ? ? ?? ?? ? 2020! nnf x x xn ??? 異號(hào)所以 ??fx?? 的符號(hào)相異 ,從而 ? ?? ?00,x f x為拐點(diǎn) .當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) ,在點(diǎn) 0x 的兩邊 ??fx?? 的符號(hào)相同 ,所以 ? ?? ?00,x f x不是拐點(diǎn) . 判別廣義積分收斂性 在判定廣義積分的收斂性時(shí)通常用1 dpxx???作為比較對(duì)象 ,從而 利用比較判別法的極限形式判別無(wú)窮積分0 ( )df x x???的收斂性 .于是判定廣義積分的收斂性 問(wèn)題也就變成如何選取恰當(dāng)?shù)?p 以便更好地應(yīng)用比較判別法 .我們可以通過(guò)帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒 公式來(lái)研究 ()fx的階 ,從而 找到恰當(dāng)?shù)?p 順利解決問(wèn)題 . 例 6 研究廣義積分5 ( 1 1 2 )dx x x x?? ? ? ? ??的斂散性 . 解 : 111 1 2 ( 1 1 2 )x x x x xx? ? ? ? ? ? ? ? ?,分別將 11x? , 11 x? 在 0x? 處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的 泰勒 公 式 展開(kāi) ,可以得到 天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 泰勒展開(kāi)式中余項(xiàng)的應(yīng)用 8 2211( 1 )1 1 1 1221 1 ( )2 2 ! oxx xx?? ? ? ? ? ?, 2211( 1 )1 1 1 1221 1 ( )2 2 ! oxx xx?? ? ? ? ? ?, 代入被積函數(shù)中 ,有 2 2 2 2 3 3221 1 1 1( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 21 1 2 1 ( ) 1 ( ) 2 ( )2 2 ! 2 2 !4x x x x o o oxx x x x xxx??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 因此3322332211 ()1 1 2 4l im 11144xox x xxxxx? ? ???? ? ? ?????.又因?yàn)榉e分35 21 d4 xx??? 收斂 ,由比較判別法知原廣義積分也收斂 . 例 7 討論無(wú)窮積分 1 1( 1)dxa exx? ???的斂散性 . 解 : 將被積函數(shù) 1 1( ) 1xf x ex? ? ?在 0x? 處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的 泰勒 公 式展開(kāi) ,得 12 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( ) 1 1 ( ) 1 ( )22xf x e o ox x xx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 選取211pxx?,因?yàn)?2221 1 1()( ) 12lim lim 1 2pxxofx xxx x? ? ? ?????而 21p??,所以由無(wú)窮積分?jǐn)可⑿耘袆e定理得知 1 1( 1)dxa exx? ???收斂 . 例 8 判斷 廣義積分 10 sin darctanxxxxx??是否收斂？ 解 : 由函數(shù) ()fx在 0x? 處的帶佩亞諾型余項(xiàng)的 泰勒 公 式 ,有 ()2(0 ) (0 )( ) (0 ) (0 ) ( )2 ! !n nnfff x f f x x x o xn???? ? ? ? ? ?. 于是可以得到 341sin ( )3!x x x o x? ? ?, 3 5 611a r c ta n ( )35x x x x o x? ? ? ?. 代入積分表達(dá)式中并整理 ,有 342 2 2 23 5 61( ( ) )s in 1 3 33!( ) ( 1 ( ) ) ( ) ( 1 ( ) ) ( )11a r c ta n 3 !( ( ) )35x x x o xxxf x x o x o x o xx x x xx x x o x x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?. 由于0()lim 13xfxx?? ??,所以 ()fx是的 1( 0 )xx ?? 一階無(wú)窮大量 ,而 101dxx?發(fā)散 ,故由比較判別法知原 積分 10 sin darctanxxxxx??也發(fā)散 . 天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 泰勒展開(kāi)式中余項(xiàng)的應(yīng)用 9 判別級(jí)數(shù)斂散性 泰勒展開(kāi)式能將某些函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù) ,這種化繁為簡(jiǎn)的功能使得在級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類(lèi)型函數(shù)構(gòu)成的繁瑣形式時(shí) ,可以進(jìn)行簡(jiǎn)化或轉(zhuǎn)換成統(tǒng)一形式 ,以便于利用判別準(zhǔn)則判斷級(jí)數(shù)斂散性 . 例 9 討論級(jí)數(shù)111( ln )nnnn????? 的斂散性 . 分析 : 首先需要判斷級(jí)數(shù)是否為正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,但直接根據(jù)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)去判斷存在一定的困難 ,也就難以選擇恰當(dāng)?shù)呐袆e方法 .而對(duì)于 11ln ln(1 )nnn? ??,若令 1xn?,不妨 考慮將 ln(1 )x? 進(jìn)行泰勒展開(kāi) ,就得到 1n的方冪形式 .開(kāi)二次方之后與 1n相呼應(yīng) ,會(huì)簡(jiǎn)化判別過(guò)程 . 解 : 不妨設(shè) ( ) ln(1 )f x x??,將 ()fx在 0x? 處按帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒 公 式展開(kāi) ,有 23