泰勒公式及其若干應(yīng)用-學(xué)年論-資料下載頁
2025-01-06 05:27本頁面
【正文】 , ()nRx? ( 1)()1!nfn ??? 1nx? (2)利用余項(xiàng)估計(jì)誤差 : 要計(jì)算 ? ln(1 )? ,可取 0 ? ,代入則有 : 1 1 1 111( 1 ) ( 0 . 1 ) ( 0 . 1 ) ( 0 . 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )n n n n nnnxn n n??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? 因此 , 1()n? ? ,解得 3n? .因此 ,取 3n? ,有 : ? 23( 0 . 1 ) ( 0 . 1 ) 0 . 1 0 0 0 0 0 . 0 0 5 0 0 0 . 0 0 0 3 3 0 . 0 9 5 3 323? ? ? ? ? ? 在以上計(jì)算中 ,取 3n? ,由于每項(xiàng)計(jì)算取小數(shù)五位 ,舍入誤差為 510? ,三項(xiàng)總的誤差不超過 53 10?? ,這個誤差比 小的很多 .因此 ,可以認(rèn)為計(jì)算總的誤差不超過 . 7 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的數(shù)值 如果 ()fx泰勒公式已知 ,其通項(xiàng)中的加項(xiàng) 0()nxx? 的系數(shù)正是 ()01 ()! nfxn,從而可反過來求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值 ,而不必再依次求導(dǎo) . 例 5:求函數(shù) ()fx 2 xxe? 在 1x? 處的高階導(dǎo)數(shù) (100)(1)f 解 :設(shè) 1xu??則 : 2 ( 1 ) 2( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )uuf x g u u e u e e?? ? ? ? ? ( ) ( )(1) (0)nnfg? ue 在 0u? 的泰勒公式為 : 9 8 9 9 1 0 0 1001 ( )9 8 ! 9 9 ! 1 0 0 !u u u ue u o u? ? ? ? ? ? ? 從而 , 2( ) ( 2 1)g u e u u? ? ? 9 8 9 9 1 0 0 100(1 ( ) )9 8 ! 9 9 ! 1 0 0 !u u uu o u? ? ? ? ? ? 而 ()gu 中的泰勒展開式中含 100u 的項(xiàng)為 100 100(0)100!g u 從 ()gu 的展開式知 100u 的項(xiàng)為 1001 2 1()9 8 ! 9 9 ! 1 0 0 !eu?? 因此 , 100(0)100!g 1 2 1()9 8 ! 9 9 ! 1 0 0 !e? ? ?, 100(0)g 10101e?? 100 100(1) (0)fg? 10101e? 總結(jié) :泰勒公式在解決一些問題中 ,確實(shí)有著十分重要的應(yīng)用 , 他可以應(yīng)用于證明定積分不等式 ,求極限 ,判斷函數(shù)極值 ,利用余項(xiàng)估計(jì)誤差 ,求高階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的數(shù)值 等 ,通過以上的介紹相信大家對泰勒公式已經(jīng)用了更深的了解 . 參考文獻(xiàn)： [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析（第三版） [M].高等教育出版社， 1991， P182. [2]詹瑞清等 .高等數(shù)學(xué)全真課堂 [M].學(xué)苑出版社， 2022， P157. [3]沈燮昌，邵品宗 .數(shù)學(xué)分析縱橫談 [M].北京大學(xué)出版社， 1991， P98. [4]方企勤 .數(shù)學(xué)分析 [M].高等教育出版， 1986， P163.
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