導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用含標(biāo)準(zhǔn)答案資料-資料下載頁
2025-06-20 12:25本頁面
【正文】 (x)＝x2－ex－ax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，∴f′(x)＝2x－ex－a≥0，即a≤2x－ex有解，設(shè)g(x)＝2x－ex，則g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，解得x＝ln 2，則當(dāng)xln 2時，g′(x)0，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xln 2時，g′(x)0，g(x)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝ln 2時，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2，∴a≤2ln 2－2.答案：(－∞，2ln 2－2)：(1)由題意得x0，f′(x)＝1－＋.由函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)，得f′(x)≥0，即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1(x0)．因為－(x－1)2＋1≤1(當(dāng)x＝1時，取等號)，所以a的取值范圍是[1，＋∞)．(2)g′(x)＝ex，由(1)得a＝2時，f(x)＝x－2ln x－＋1，且f(x)在定義域上是增函數(shù)，又f(1)＝0，所以，當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f(x)0.所以，當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)0.故當(dāng)x＝1時，g(x)取得最大值－e.：(1)當(dāng)k＝1時，f(x)＝(x－1)ex－x2，f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝xex－2x＝x(ex－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln 2.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化如下表：x(－∞，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值由表可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，ln 2]，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0]，[ln 2，＋∞)．f(x)的極大值為f(0)＝－1，極小值為f(ln 2)＝－(ln 2)2＋2ln 2－2.(2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝xex－2kx＝x(ex－2k)，當(dāng)x1時，f(x)0，所以f(x)在(－∞，1)上無零點．故只需證明函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上有且只有一個零點．①若k∈，則當(dāng)x≥1時，f′(x)≥0，f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．∵f(1)＝－k≤0，f(2)＝e2－4k≥e2－2e0，∴f(x)在[1，＋∞)上有且只有一個零點．②若k∈，則f(x)在[1，ln 2k]上單調(diào)遞減，在[ln 2k，＋∞)上單調(diào)遞增．f(1)＝－k0，f(k＋1)＝kek＋1－k(k＋1)2＝k[ek＋1－(k＋1)2]，令g(t)＝et－t2，t＝k＋12，則g′(t)＝et－2t，g″(t)＝et－2，∵t2，∴g″(t)0，g′(t)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．∴g′(t)g′(2)＝e2－40，∴g(t)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．∴g(t)g(2)＝e2－40.∴f(k＋1)0.∴f(x)在[1，＋∞)上有且只有一個零點．綜上，當(dāng)k∈[0，＋∞)時，f(x)在R上有且只有一個零點．17
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