【正文】 因式 . 方法總結(jié) 掌握因式分解的方法 :一提、二套、三分解 ,即先提取公因式 ,再運用公式法分解因 式 ,注意因式分解要徹底 . 2.(2022湖南張家界模擬 ,13)分解因式 :a24a= . 答案 a(a4) 解析 提取公因式 a,則 a24a=a(a4). 4.(2022湖南祁陽二模 ,11)分解因式 :x34x= . 3.(2022湖南岳陽九校聯(lián)考 ,9)因式分解 :xy22xy+x= . 答案 x(y1)2 解析 xy22xy+x=x(y22y+1)=x(y1)2. 思路分析 此多項式有公因式 ,應(yīng)先提取公因式 ,再對余下的多項式進行觀察 ,有 3項 ,可采用完 全平方公式繼續(xù)分解 . 解題關(guān)鍵 本題主要考查提公因式法和利用完全平方公式分解因式 ,熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的 關(guān)鍵 . 答案 x(x+2)(x2) 解析 x34x=x(x24)=x(x+2)(x2). 5.(2022湖南長沙南雅中學(xué)一模 ,14)分解因式 y34y2+4y的結(jié)果為 . 答案 y(y2)2 解析 y34y2+4y=y(y24y+4)=y(y2)2. 6.(2022湖南長沙麓山國際實驗學(xué)校一模 ,15)若 a+b=2,則代數(shù)式 32a2b= . 答案 1 解析 ∵ a+b=2, ∴ 原式 =32(a+b)=322=1. 7.(2022湖南株洲模擬 ,11)因式分解 :2a24a= . 答案 2a(a2) 解析 原式 =2a(a2). 8.(2022湖南株洲石峰模擬 ,14)因式分解 :(x+3)212x= . 答案 (x3)2 解析 原式 =x2+6x+912x=x26x+9=(x3)2. 9.(2022湖南婁底一模 ,12)分解因式 :2x2+4x+2= . 答案 2(x+1)2 解析 原式 =2(x2+2x+1)=2(x+1)2. 考點四 規(guī)律探索題 1.(2022湖南長沙南雅中學(xué)模擬 ,16)將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放 ,請仔細觀 察 ,第 n個圖形有 個小圓 .(用含 n的代數(shù)式表示 ) ? 答案 (n2+n+4) 解析 根據(jù)第 1個圖形有 6個小圓 ,第 2個圖形有 10個小圓 ,第 3個圖形有 16個小圓 ,第 4個圖形有 2 4個小圓 ,…… , ∵ 6=4+12,10=4+23,16=4+34,24=4+45,…… , ∴ 第 n個圖形有 4+n(n+1)=n2+n+4個小圓 . 2.(2022湖南衡陽模擬 ,18)如圖 ,下列各圖形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律 ,依此規(guī)律 ,那么 第 (100)個圖形中的 x= . ? 答案 39 999 解析 ∵ 3=21+1, 15=43+3, 35=65+5,63=87+7,…… , ∴ 第 (100)個圖形中的 x=200199+199=39 999. 3.(2022湖南湘潭模擬 ,16)等腰三角形 ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示 ,已知點 A(6, 0),點 B在原點 ,CA=CB=5,把等腰三角形 ABC沿 x軸正半軸做無滑動順時針翻轉(zhuǎn) ,第一次翻轉(zhuǎn)到 位置① ,第二次翻轉(zhuǎn)到位置② ,…… ,依此規(guī)律 ,第 15次翻轉(zhuǎn)后點 C的橫坐標是 . ? 答案 77 解析 由題意可得 ,每翻轉(zhuǎn)三次與初始位置的擺放形式相同 ,即 AB邊在 x軸上 ,又 15247。3=5,故第 15 次翻轉(zhuǎn)后點 C的橫坐標是 (5+5+6)53=77. 4.(2022湖南瀏陽模擬 ,16)如圖是用棋子擺成的“ T”形圖案 : ? 從圖案中可以看出 ,第一個“ T”形圖案需要 5枚棋子 ,第二個“ T”形圖案需要 8枚棋子 ,第三 個“ T”形圖案需要 11枚棋子 .則擺成第 n個圖案需要 枚棋子 . 答案 3n+2 解析 因為第一個圖案需要 5枚棋子 , 第二個圖案需要 (5+31)枚棋子 , 第三個圖案需要 (5+32)枚棋子 , 依此規(guī)律可得第 n個圖案需要 5+3(n1)=5+3n3=(3n+2)枚棋子 . 5.(2022湖南益陽二模 ,14)有這樣一組數(shù)據(jù) a1,a2,a3,… ,an,滿足以下規(guī)律 : a1=? ,a2=? ,a3=? ,…… ,an=? (n≥ 2且 n為正整數(shù) ),則 a2 017的值為 (結(jié)果用數(shù)字 表示 ). 12111 a?211 a?111na ??答案 ? 12解析 ∵ a1=? ,∴ a2=? =? =2, a3=? =? =1, a4=? =? =? , …… ∴ 這組數(shù)據(jù)每 3個數(shù)為一個循環(huán) , ∵ 2 017247。3=672…… 1, ∴ a2 017=a1=? . 12111 a?1 11 2?211 a? 112?311 a? 11 ( 1)?? 1212解題關(guān)鍵 依據(jù)定義正確地求出前幾個數(shù)據(jù)并發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵 . B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時間 :20分鐘 分值 :50分 ) 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 12分 ) 1.(2022湖南衡陽二模 ,9)已知 a2+2a=1,則代數(shù)式 2a2+4a1的值為 ? ( ) 答案 B ∵ a2+2a=1, ∴ 原式 =2(a2+2a)1=211=1, 故選 B. 2.(2022湖南長沙四模 ,5)下列因式分解正確的是 ? ( ) A.(x+y)(xy)=x2y2 +6x+9=(x+3)2 +xy=x(xy+y) +2x+3=(x+1)2+2 答案 B ,不是因式分解 ,故 A錯誤 . ,正確 . +xy=xy(x+1),故 C錯誤 . +2x+3=(x+1)2+2,等式右邊不是幾個整式的積的形式 ,不是因式分解 ,故 D錯誤 .故選 B. 3.(2022湖南常德澧縣中學(xué)模擬 ,8)如圖是按照一定規(guī)律畫出的“分形圖” ,經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn) ,圖 2比圖 1多出 2根“樹枝” ,圖 3比圖 2多出 4根“樹枝” ,圖 4比圖 3多出 8根“樹枝” ,…… ,照此規(guī) 律 ,圖 6比圖 2多的“樹枝”根數(shù)為 ? ( ) 答案 C 觀察題圖可知圖 1有“樹枝” 1根 , 圖 2有“樹枝” (1+21)根 , 圖 3有“樹枝” (1+21+22)根 , 圖 4有“樹枝” (1+21+22+23)根 , …… , 圖 n有“樹枝” (1+21+22+23+… +2n1)根 , 則圖 6的“樹枝”比圖 2多 (1+21+22+23+24+25)(1+21)=60(根 ),故選 C. 4.(2022湖南長沙一模 )下列運算中 ,正確的是 ? ( ) +a3=a5 247。a3=a2 C.(a4)2=a6 a3=a5 答案 D A項 ,a2與 a3不是同類項 ,不能合并 ,故本選項錯誤 。 B項 ,a6247。a3=a3,故本選項錯誤 。 C項 ,(a4)2=a8,故本選項錯誤 。 D項 ,a2a3=a5,故本選項正確 .故選 D. 二、填空題 (每小題 4分 ,共 16分 ) 5.(2022湖南邵陽模擬 ,14)若 4xay+x2yb=3x2y,則 a+b= . 答案 3 解析 由同類項的定義可知 a=2,b=1, ∴ a+b=3. 6.(2022湖南岳陽模擬 ,9)分解因式 :m4n4m2n= . 答案 m2n(m+2)(m2) 解析 原式 =m2n(m24)=m2n(m+2)(m2). 7.(2022湖南婁底新化一模 ,18)將連續(xù)正整數(shù)按如下規(guī)律排列 : 若正整數(shù) 565位于第 a行、第 b列 ,則 a+b= . 第 1列 第 2列 第 3列 第 4列 第 5列 第 1行 1 2 3 4 第 2行 8 7 6 5 第 3行 9 10 11 12 第 4行 16 15 14 13 第 5行 17 18 19 20 …… 解題關(guān)鍵 本題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問題 ,注意觀察總結(jié)出規(guī)律 ,并能正確地應(yīng)用規(guī)律 ,解 答此題的關(guān)鍵是判斷出 :(1)每行都有 4個數(shù) 。(2)奇數(shù)行的數(shù)字在前 4列 ,數(shù)字逐漸增大 。偶數(shù)行的 數(shù)字在后 4列 ,數(shù)字逐漸減小 . 解析 ∵ 565247。4=141…… 1,∴ 正整數(shù) 565位于第 142行 ,即 a=142. ∵ 奇數(shù)行的數(shù)字在前 4列 ,數(shù)字逐漸增大 。偶數(shù)行的數(shù)字在后 4列 ,數(shù)字逐漸減小 , ∴ 正整數(shù) 565位于第 5列 ,即 b=5. ∴ a+b=142+5= 147. 答案 147 8.(2022湖南永州模擬 ,10)已知 x2x1=0,則代數(shù)式 x3+2x2+2 010的值為 . 答案 2 011 解析 ∵ x2x1=0,∴ x2x=1,∴ x3+2x2+2 010=x(x2x1)+(x2x)+2 010=2 011. 三、解答題 (共 22分 ) 9.(2022湖南長沙麓山國際實驗學(xué)校模擬 ,20)先化簡 ,再求值 :x(x4y)+(2x+y)(2xy)(2xy)2,其中 x= 2,y=? . 12解析 原式 =x24xy+4x2y24x2+4xyy2 =x22y2, 當 x=2,y=? 時 ,原式 =4? =3? . 12 12 1210.(2022湖南長沙麓山國際實驗學(xué)校一模 ,20)先化簡 ,再求值 :(x+y)22y(x+y),其中 x=? 1,y=? . 2 3解析 (x+y)22y(x+y)=x2+2xy+y22xy2y2=x2y2, 當 x=? 1,y=? 時 , 原式 =(? 1)2(? )2=2+12? 3=2? . 2 32 3 2 2易錯警示 ①完全平方公式運用錯誤 。②合并同類項出錯 . 11.(2022湖南長沙開福二模 ,17)將 xn+3xn+1因式分解 . 解析 原式 =xn+1(x21)=xn+1(x+1)(x1). 思路分析 先提取公因式 ,再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解 . 解題關(guān)鍵 ①正確找到公因式 xn+1。②分解因式要徹底 . 12.(2022湖南湘潭一模 ,18)已知 x(x1)(x2y)=3,求 x2+y22xy的值 . 解析 ∵ x(x1)(x2y)=3,∴ x2xx2+y=3,∴ xy=3,∴ x2+y22xy=(xy)2=32=9. 思路分析 ∵ x2+y22xy=(xy)2,∴ 由已知條件得出 (xy)的值即可 .