【正文】 5個(gè)等式 :32 +1= 。 (2)寫(xiě)出你猜想的第 n個(gè)等式 (用含 n的式子表示 ),并驗(yàn)證其正確性 . 解析 (1)30。312. (2)猜想 :2n(2n2)+1=(2n1)2. 證明 :∵ 左邊 =(2n)222n+1=(2n1)2=右邊 , ∴ 2n(2n2)+1=(2n1)2. 7.(2022安徽合肥瑤海二模 ,16)觀察下列等式 : 1? =12? ,① 2? =22? ,② 3? =32? ,③ …… 根據(jù)上述規(guī)律解決下列問(wèn)題 : (1)寫(xiě)出第 4個(gè)等式 : = 。 (2)寫(xiě)出你猜想的第 n個(gè)等式 (用含 n的式子表示 ),并驗(yàn)證其正確性 . 56 16107 17158 18解析 (1)4? 。42? . (2)猜想 :第 n個(gè)等式為 n? =n2? . 證明 :∵ 左邊 =? =? =n2? =右邊 , ∴ 第 n個(gè)等式成立 . 209 195 5nn ? 1 5n ?2 555n n nn??? 2 5nn ? 1 5n ?1.(2022安徽宿州五中一模 ,8)如圖 ,用相同的小正方形按照某種規(guī)律進(jìn)行擺放 ,則第 8個(gè)圖形中 小正方形的個(gè)數(shù)是 ? ( ) ? B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :30分鐘 分值 :50分 ) 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 15分 ) 答案 D 第 1個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為 22+1。第 2個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為 33+2。第 3 個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為 44+3,…… ,依此類推 ,第 8個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為 99+8=89, 故選 D. 2.(2022安徽合肥包河二模 ,4)下列因式分解正確的是 ? ( ) +2=x(x1)+2 +2x1=(x1)2 +1=(x+1)2 =2(x+1)(x1) 答案 D 多項(xiàng)式 x2x+2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解 。選項(xiàng) B、 C中的等式不成立 。在選項(xiàng) D中 , 提取公因式 2,然后運(yùn)用平方差公式因式分解 . 3.(2022安徽合肥瑤海一模 ,3)下列運(yùn)算正確的是 ? ( ) A.(a+b)2=a2+b2 ? ? =4 01522 014=22 014 m3=m6 3 3答案 C (a+b)2=a2+2ab+b2,4? ? =3? ,22 01522 014=222 01422 014=22 014,m2m3=m2+3= C. 3 3 34.(2022安徽合肥瑤海二模 ,8)為了求 1+2+22+23+… +22 016的值 ,可令 S=1+2+22+23+… +22 016,則 2S=2 +22+23+24+… +22 017,因此 2SS=22 0171,所以 1+2+22+23+… +22 016=22 ,計(jì)算出 1+3+ 32+33+… +32 016的值是 ? ( ) 0171 0161 C.? D.? 2 017314 ?2 017312 ?答案 D 設(shè) S=1+3+32+33+… +32 016,則 3S=3+32+33+34+… +32 017,∴ 3SS=32 0171,∴ S=? . 2 017312 ?5.(2022安徽合肥十校一模 ,9)古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù) 1,3,6,10,15,21,… 叫做三角形數(shù) ,它有一定的規(guī) 律性 ,若把第 1個(gè)三角形數(shù)記為 x1,第 2個(gè)三角形數(shù)記為 x2,…… ,第 n個(gè)三角形數(shù)記為 xn,則 xn+xn+1= ? ( ) +n +n+1 +2n +2n+1 答案 D x1+x2=1+3=4=22,x2+x3=3+6=9=32,x3+x4=6+10=42,…… ,依此類推 ,xn+xn+1=(n+1)2=n2+2n+ D. 思路分析 先取 n=1,2,3,然后找出 xn+xn+1的值與 n之間的關(guān)系 ,最后得到一般規(guī)律 . 方法指導(dǎo) 做找規(guī)律的題目 ,一般先寫(xiě)出它的前幾項(xiàng) ,然后根據(jù)這幾項(xiàng)找出它的變化規(guī)律 .如本 題 ,等式右邊的數(shù)正好是等式左邊第二項(xiàng)的下標(biāo)的平方 . 6.(2022安徽合肥二模 ,13)觀察下列圖形規(guī)律 :當(dāng) n= 時(shí) ,圖形中“△”的個(gè)數(shù)是“ ”的 個(gè)數(shù)的 2倍 . ? 二、填空題 (每小題 3分 ,共 15分 ) 答案 11 解析 ∵ n=1時(shí) ,“”的個(gè)數(shù)是 3=31。n=2時(shí) ,“”的個(gè)數(shù)是 6=32。n=3時(shí) ,“”的個(gè)數(shù)是 9=3 3。n=4時(shí) ,“”的個(gè)數(shù)是 12=34,∴ 第 n個(gè)圖形中“ ”的個(gè)數(shù)是 ∵ n=1時(shí) ,“△ ”的個(gè)數(shù)是 1 =? 。n=2時(shí) ,“△ ”的個(gè)數(shù)是 3=? 。n=3時(shí) ,“△ ”的個(gè)數(shù)是 6=? 。n=4時(shí) ,“△ ” 的個(gè)數(shù)是 10=? ,∴ 第 n個(gè)圖形中“△”的個(gè)數(shù)是 ? .由 23n=? ,解得 n=11或 n=0 (舍去 ),故 答案 為 11. 1 (1 1)2?? 2 (2 1)2?? 3 (3 1)2??4 (4 1)2?? ( 1)2nn? ( 1)2nn?思路分析 先找出“ ”的個(gè)數(shù)與 n之間的關(guān)系 ,再找出“△”的個(gè)數(shù)與 n之間的關(guān)系 ,然后得到 關(guān)于 n的方程 ,解之即可 . 7.(2022安徽合肥第五十中學(xué)一模 ,18)圖中每個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在等腰直角三角形的邊 上 ,依照?qǐng)D中的規(guī)律 ,回答問(wèn)題 . ? (1)第 4個(gè)圖形中共有 個(gè)正方形 。 (2)若第 1個(gè)圖形中大等腰直角三角形的面積為 1,則正方形的面積為 ,第 2 017個(gè)圖形 中所有正方形面積的和為 . 答案 (1)40 (2)? 。1? 492 0 1 759??????解析 (1)∵ 第 1個(gè)圖形中有 1個(gè)正方形 ,第 2個(gè)圖形中有 1+3=4個(gè)正方形 ,第 3個(gè)圖形中有 1+3+3 3=13個(gè)正方形 ,∴ 第 4個(gè)圖形中有 1+3+9+93=40個(gè)正方形 . (2)如圖 ,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 x(x0),由勾股定理得各個(gè)小等腰直角三角形的邊長(zhǎng) ,求得 AC=BC= ? x,由三角形 ABC的面積為 1,得 ? ? x? x=1,解得 x=? ,∴ 正方形 DEGF的面積為 ? .易 知第 1個(gè)圖形中除去正方形 DEGF剩余部分的面積為 1? =? ,第 2個(gè)圖形中所有正方形的面積 和為 1? ,第 3個(gè)圖形中所有正方形的面積和為 1? ,…… ,第 2 017個(gè)圖形中所有正方形的 面積和為 1? . ? 322 12322 322 23 4949 59259??????359??????2 0 1 759??????8.(2022安徽合肥蜀山二模 ,11)分解因式 :ax26ax+9a= . 答案 a(x3)2 解析 ax26ax+9a=a(x26x+9)=a(x3)2. 9.(2022安徽合肥瑤海一模 ,13)若代數(shù)式 2x23x+1的值為 7,則代數(shù)式 1? x+x2的值為 . 32答案 4 解析 ∵ 2x23x+1=7, ∴ 2x23x=6, ∴ 1? x+x2=1+? (2x23x)=1+3=4. 32 12方法指導(dǎo) 這類題常采用整體思想求解 .如本題 ,將 2x23x看作一個(gè)整體 . 解題關(guān)鍵 根據(jù)已知的 4個(gè)式子找到新定義 a⊕ b的運(yùn)算規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵 .可以分別從等 式右邊分?jǐn)?shù)的分子、分母入手 ,尋找出與等式左邊兩個(gè)數(shù)字的聯(lián)系 . 答案 ? 22abab?解析 ∵ 1⊕ 2=? =? ,2⊕ 1=? =? ,(2)⊕ 5=? =? ,5⊕ (2)=? =? ,∴ a⊕ b =? . 322212?? 32 221?? 211022( 2) 525???? 2110 225 ( 2 )5 ( 2 )????22abab?10.(2022安徽馬鞍山二模 ,14)對(duì)于任意非零實(shí)數(shù) a、 b,定義運(yùn)算“ ⊕ ” ,使下列式子成立 :1⊕ 2= ? ,2⊕ 1=? ,(2)⊕ 5=? ,5⊕ (2)=? ,…… ,則 a⊕ b= . 32 32 2110 211011.(2022安徽合肥包河一模 ,19)如圖 ,每個(gè)圖形都可以看成由上下左右 4個(gè)等腰梯形組成 ,而每 個(gè)等腰梯形又由若干個(gè)更小的全等正方形和全等等腰直角三角形組成 ,且等腰直角三角形的 面積正好是小正方形面積的一半 ,設(shè)小正方形的面積為 1,則第 1個(gè)圖形的面積為 4? =16,第 2個(gè)圖形的面積為 4? =30,第 3個(gè)圖形的面積為 4? =48,…… . ? 根據(jù)上述規(guī)律 ,解答下列問(wèn)題 : (1)第 4個(gè)圖形的面積為 4? = , 第 5個(gè)圖形的面積為 4? = 。 12 1 4 2??? ? ?????15 1 5 2??? ? ????? 19 1 6 2??? ? ?????11 2??? ? ?????　 　 　 　11 2??? ? ?????　 　 　 　三、解答題 (共 20分 ) (2)第 n個(gè)圖形的面積為 4? 1+ ? ? (用含 n的式子填空 )。 (3)上面的圖形還可以看成是一個(gè)大正方形減去正中間 1個(gè)小正方形 (陰影部分 ),則第 1個(gè)圖形 的面積為 (3? )22,第 2個(gè)圖形的面積為 (4? )22,第 3個(gè)圖形的面積為 (5? )22,…… . 根據(jù)這個(gè)規(guī)律 ,完成下列問(wèn)題 : ① 第 n個(gè)圖形的面積為 2(用含 n的式子填空 )。 ② 比較兩個(gè)猜想 ,寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論并驗(yàn)證 . 122 2 2解析 (1)14。7。70。20。8。96. (2)[2+3+4+… +(n+1)]。(n+3). (3)① [(n+2)? ]2. ② 4? =[(n+2)? ]22. 證明 :右邊 =2n2+8n+6, 左邊 =2[(1+2+3+… +n)+(n+n1+n2+… +1)+2n]+2(n+3)=2[n(n+1)+2n]+2(n+3)=2n2+8n+6, ∴ 左邊 =右邊 , 即 4? =[(n+2)? ]22. 2 1(2 3 4 1) 1 ( 3)2n n n??? ? ??? ? ? ?? ?????21(2 3 4 1) 1 ( 3)2n n n??? ? ??? ? ? ?? ?????212.(2022安徽蕪湖二模 ,16)定義一種新運(yùn)算 :x*y=? ,如 :2*1=? =2,求 (4*2)*(1)的值 . 2xyx? 2 2 12??解析 ∵ 4*2=? =2, ∴ (4*2)*(1)=2*(1)=? =0. 4 2 24??2 2 ( 1)2? ? ?方法指導(dǎo) 先求出 4*2的值為 2,再求 2*(1)的值即可 .