【正文】 在處的調(diào)節(jié)映射:為一個(gè)集值映射 ()當(dāng)非空時(shí),稱(chēng)是嚴(yán)格的,滿(mǎn)足上式()的一個(gè)u稱(chēng)為系統(tǒng)(U,f)的一個(gè)生存選擇.調(diào)節(jié)映射是系統(tǒng)”魯棒性”指示器, 越大,系統(tǒng)的生存選擇范圍越大,抗干擾能力也就越強(qiáng),可生存性越強(qiáng).(生存解) 對(duì)于系統(tǒng)(U,f),稱(chēng)是一個(gè)生存解,如果x(t)滿(mǎn)足 . () (生存域) 如果對(duì)于每一個(gè),至少存在一個(gè)生存選擇 ,則稱(chēng)K為該決策系統(tǒng)懂得一個(gè)生存域. (慢解) 對(duì)于動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)(U,f),如果控制u(x(t))滿(mǎn)足:對(duì)幾乎所有的t,在RK(x) 中達(dá)到范數(shù)最小,則稱(chēng)這樣的狀態(tài)x為系統(tǒng)的慢解,此時(shí)最小.慢解是針對(duì)達(dá)到最小而言的,同樣我們可以選取達(dá)到最小,這就涉及到集值映射的微分學(xué)問(wèn)題. (相依導(dǎo)數(shù)) 考慮一個(gè)集值映射, X,Y為賦范線(xiàn)性空間,集值映射的相依導(dǎo)數(shù)DF(x,y)定義為一個(gè)X到Y(jié)的集值映射: ()其中,表示集值映射的圖,TGr(F)(x,y)表示集值映射F的圖在Gr(F) 在點(diǎn)(x,y)相依錐.上式()的意義可以表達(dá)為:F的圖像在點(diǎn)(x,y)處的相依錐是F在該點(diǎn)的相依導(dǎo)數(shù)DF(x,y)的圖.現(xiàn)在對(duì)生存選擇: 的兩端求導(dǎo),得到”一階調(diào)節(jié)律”: 由此,可定義重生存解,即它是在集合中使控制速度的范數(shù)達(dá)到最小的可生存解,用數(shù)學(xué)描述為: 在一些經(jīng)典系統(tǒng)中,控制往往就是狀態(tài)的速度,于是控制的速度就是狀態(tài)的加速度,使加速度最小就是使加速度具有最大慣性,這就是重解這個(gè)名稱(chēng)的由來(lái),這個(gè)觀(guān)點(diǎn)導(dǎo)致引入與控制相關(guān)的K的生存穴N(u)的概念,它定義為: 在這樣的生存穴中,狀態(tài)是在控制維持不變的作用下進(jìn)行演化的。四 生存選擇及選擇措施對(duì)一個(gè)決策系統(tǒng)(U,f),假定其約束為,生存選擇要解決的問(wèn)題是(i) 是否存在可生存解軌跡(相當(dāng)于是否存在生存選擇,即 K是否是生存域或RK(x) 是否是嚴(yán)格的)。(ii) 如果RK(x)是嚴(yán)格的,可能有多個(gè)生存選擇和相應(yīng)的生存軌跡,如何選擇和.第一個(gè)問(wèn)題由下面的生存選擇定理回答. (生存選擇定理) 考慮Marchaud 決策系統(tǒng) (U,f),閉子集為其生存域,則RK(x)是嚴(yán)格的,當(dāng)且僅當(dāng)K是一個(gè)生存域。并且,任何一個(gè)決定生存解的開(kāi)環(huán)生存選擇遵循生存選擇律,若K不是(U,f)的生存域,則存在一個(gè)生存核Viab(K).對(duì)第二個(gè)問(wèn)題的回答，需要確定一種選擇準(zhǔn)則，選擇準(zhǔn)則有多種，最基本的要求是軌跡必須是生存的，更嚴(yán)格的要求有下面三種[42]： (i) 在生存集內(nèi)，要求軌跡盡可能長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定地處于生存集內(nèi)；(ii) 在生存集內(nèi)，要求軌跡變化滿(mǎn)足一定的偏序數(shù)；(iii) 在生存集內(nèi)，要求軌跡能達(dá)到某一目標(biāo)集等.除了選擇準(zhǔn)則以外，還要一種選擇機(jī)制，選擇機(jī)制是通過(guò)選擇措施來(lái)實(shí)現(xiàn)的。（選擇措施） 設(shè)Z是一個(gè)賦范空間，生存策略映射的選擇程序是一個(gè)集值映射滿(mǎn)足：(i)(ii) 的圖是閉的.并稱(chēng)集值映射是的選擇.第二節(jié) 模型的建立一 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和生產(chǎn)函數(shù)1. 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng) 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論是現(xiàn)代西方宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)理論的一個(gè)重要組成部分。經(jīng)濟(jì)持續(xù)、穩(wěn)定地增長(zhǎng)已成為世界各國(guó)政府追求的目標(biāo)。同時(shí)，西方經(jīng)濟(jì)理論界也在探索著經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)因素的奧秘，、,經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)因素的分析取得了很大的成果,索洛為此還榮獲了1987年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng).決定經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的因素很多,諸如勞動(dòng)力、生產(chǎn)資料、及其在生產(chǎn)過(guò)程中的社會(huì)結(jié)合和改進(jìn) 、,技術(shù)進(jìn)步因素是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的重要因素,其作用表現(xiàn)為內(nèi)涵的擴(kuò)大再生產(chǎn),不是靠增加勞動(dòng)力和資金的投入量,而是靠提高生產(chǎn)要素的使用效率. 中國(guó)的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)在已經(jīng)處于市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)階段。隨著改革開(kāi)放的進(jìn)一步擴(kuò)大和深入,市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的程度也就越來(lái)越高,從經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)方式來(lái)看,:企業(yè)來(lái)看,實(shí)現(xiàn)收入或利潤(rùn)持續(xù)、穩(wěn)定地增長(zhǎng)是其最主要的目標(biāo),我們可以借鑒索洛等人關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的研究成果應(yīng)用到企業(yè)的生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)中,主要應(yīng)用的模型為索洛的新古典單一部門(mén)的增長(zhǎng)模型[43].2. 生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)是描述生產(chǎn)過(guò)程中投入的生產(chǎn)要素的某種組合同它可能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式,即Y=F (A, K, L) ()其中，Y為產(chǎn)出量，A、K、L等分別表示技術(shù)、資本、勞動(dòng)力等投入生產(chǎn)要素。它們具體的含義分別如下：Y：指一個(gè)經(jīng)濟(jì)實(shí)體的國(guó)民收入或產(chǎn)值，即某時(shí)期內(nèi)該經(jīng)濟(jì)實(shí)體所生產(chǎn)的各種物品和勞動(dòng)，通常用貨物或勞務(wù)的市場(chǎng)價(jià)格來(lái)衡量，這里的經(jīng)濟(jì)實(shí)體指企業(yè)。A：技術(shù)進(jìn)步包括科學(xué)技術(shù)的進(jìn)展和管理方法的改進(jìn)，例如設(shè)計(jì)出高效率的機(jī)器、設(shè)備、或改進(jìn)勞動(dòng)組織等。K：指資本存量，即任何一個(gè)時(shí)間點(diǎn)上一個(gè)廠(chǎng)商或一個(gè)經(jīng)濟(jì)實(shí)體現(xiàn)有的被生產(chǎn)出來(lái)的生產(chǎn)資料存量—即固定資本設(shè)備的存量，包括土地、住宅和非住宅建筑、設(shè)備和存貨。L：指勞動(dòng)力，這里用相對(duì)勞動(dòng)來(lái)衡量，即用勞務(wù)支出和數(shù)額來(lái)表示，一般地，這個(gè)支出是對(duì)勞動(dòng)者工作能力和知識(shí)水平等的認(rèn)可，反映了勞動(dòng)者的年齡、工作時(shí)間 、教育水平、工作經(jīng)驗(yàn)等的差別。生產(chǎn)要素對(duì)產(chǎn)出量的作用和影響，主要是由一定的技術(shù)條件決定的，在一定的技術(shù)條件下，就有一定的生產(chǎn)函數(shù)，所以從本質(zhì)上講，生產(chǎn)函數(shù)反映了生產(chǎn)過(guò)程中投入要素與產(chǎn)出量之間的技術(shù)關(guān)系。生產(chǎn)要素對(duì)產(chǎn)出的彈性系數(shù)：某投入要素對(duì)產(chǎn)出的彈性指的是，當(dāng)其它生產(chǎn)要素不變時(shí)，產(chǎn)出量增加的百分比與該要素增加的百分比的比例。它是從動(dòng)態(tài)變化的角度來(lái)衡量生產(chǎn)要素投入與產(chǎn)出間經(jīng)濟(jì)效益的指標(biāo)。例如，勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性為： .3. 企業(yè)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的基本微分方程式在引入基本方程式之前，我們作出如下假設(shè)：(i) 企業(yè)只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，對(duì)于不同部門(mén)的產(chǎn)品可以進(jìn)行同值化處理，這種產(chǎn)品可有多種用途，既可用于消費(fèi)，又可用于投資；(ii) 產(chǎn)出Y和儲(chǔ)蓄S之間的關(guān)系滿(mǎn)足S=sY,這里的s是儲(chǔ)蓄或投資比例且滿(mǎn)足0s1,儲(chǔ)蓄自動(dòng)轉(zhuǎn)化為投資，即有S=I，I為企業(yè)為生產(chǎn)活動(dòng)進(jìn)行的投資；(iii) 資本存量并不折舊，投資I不過(guò)是這種復(fù)合商品的資本存量增加率，即：；(iv) 勞動(dòng)力L按一個(gè)比例率n增長(zhǎng)，即，其中為L(zhǎng)的導(dǎo)數(shù)，一般認(rèn)為n為常數(shù)，因?yàn)槠髽I(yè)一般每隔一段時(shí)間或者增加工人工資，或者增加工人人數(shù)以維持生產(chǎn)活動(dòng)；(v) 該企業(yè)的技術(shù)可能性可以用Cobb—Douglas生產(chǎn)函數(shù)表示，它是連續(xù)的，并且規(guī)模報(bào)酬不變：Y=f(A,K,L)=A(t)KαL1α 01 ()另外，我們還假定（）滿(mǎn)足以下條件：（1） 產(chǎn)出—資本比例，是可變的，資本—?jiǎng)趧?dòng)比也是可變的；（2） 邊際生產(chǎn)力遞減(當(dāng)增加某生產(chǎn)要素時(shí)，等量生產(chǎn)要素投入的產(chǎn)出增加量變得越來(lái)越小)，即有 ， 其中，f =f(A,K,L)為生產(chǎn)函數(shù)。（3） 無(wú)投入就無(wú)產(chǎn)出，即如果沒(méi)有使用任何資本或勞動(dòng)，則不能產(chǎn)出任何產(chǎn)品：即已知Y=f(A,K,L),如果K=0,則Y=0。（4） 當(dāng)時(shí)，資本的邊際產(chǎn)量為0,在k非常高的水平上,資本的邊際產(chǎn)量變得非常小,即 (5) 當(dāng)k趨于0時(shí),資本的邊際產(chǎn)量趨于無(wú)窮大,即: (6) 每個(gè)勞動(dòng)者的無(wú)限高的產(chǎn)出水平是與資本對(duì)勞動(dòng)的無(wú)限大的比率相聯(lián)系的,即:滿(mǎn)足上述條件的總體生產(chǎn)函數(shù)被認(rèn)為是性質(zhì)良好的,這些條件被稱(chēng)為稻田石條件[44]。由上,可以得出關(guān)于企業(yè)增長(zhǎng)的模型(此時(shí)的技術(shù)進(jìn)步因素包含在資本或勞動(dòng)力要素投入上，并且只考慮C—D生產(chǎn)函數(shù)，):Y= f (K,L) () () () ()由式()有: 所以有以下關(guān)于k的一階非線(xiàn)性微分方程: ()上式()中: k: 為人均占有的資本存量。sf(k):為每個(gè)工人所分配的投資流量。nk: 勞動(dòng)者按n增長(zhǎng)的條件下,為保持k不變所要求的投資量,即“資本加寬”.上式（）的含義即為：資本—?jiǎng)趧?dòng)比的變化率是由每一工人的投資量在勞動(dòng)力增長(zhǎng)時(shí)為保持資本—?jiǎng)趧?dòng)比不變所要求的量的差額量所決定的。如果該企業(yè)中每一工人的儲(chǔ)蓄大于這個(gè)量，那么很明顯，資本存量將比勞動(dòng)力增長(zhǎng)得更快，而資本—?jiǎng)趧?dòng)比就會(huì)隨之提高。二 企業(yè)增長(zhǎng)過(guò)程中的Walras均衡模型（1） Walras 均衡的概念這里，我們借用亞當(dāng)斯密的系統(tǒng)分散化的思想:企業(yè)系統(tǒng)是由若干部門(mén)小企業(yè)組成,每個(gè)部門(mén)都有自己的目標(biāo),使各部門(mén)都追求自己的目標(biāo),而其結(jié)果是更好地促進(jìn)了企業(yè)的總目標(biāo),這個(gè)手段就是前面提到的綜合投入SDP,它是通過(guò)評(píng)判的方法得到的,因而是看得見(jiàn)的,也感覺(jué)得到的.設(shè)部門(mén)DPi(i=1,2,…,M)的綜合投入為SDPi(i=1,2,…,M),SDPi又包括兩個(gè)因素SDPKi和SDPLi,而技術(shù)進(jìn)步是認(rèn)為包含在資本的投入(如設(shè)備的改造等)或勞動(dòng)力的投入上(如勞動(dòng)者技能培訓(xùn)等),所以我們有: ()另外，我們?cè)O(shè)部門(mén)DPi(i=1,2,…,M)的實(shí)際資本投入為Ki,實(shí)際勞動(dòng)力投入為L(zhǎng)i,則有: Ki= SDPKiK () Li= SDPLiL ()令企業(yè)可供支配資源向量為S, 部門(mén)DPi(i=1,2,…,M)的需求函數(shù)為θi,則有： S:= () θi:= ()則式（）和式（）滿(mǎn)足下式： （）上式即為： （）確定上式（）的SDPi的一個(gè)解稱(chēng)為一個(gè)“Walras均衡”。（2） 均衡模型 設(shè)企業(yè)有兩種要素投入K和L，而技術(shù)進(jìn)步的投入則包含在K和L中。我們可以用下面的模型描述企業(yè)系統(tǒng)：（1） 資源向量；（2） 設(shè)企業(yè)有M個(gè)部門(mén)DPi(i=1,2,,M), 部門(mén)DPi的生產(chǎn)要素投入為需求函數(shù)，定義一個(gè)分配，即部門(mén)DPi資源的供給函數(shù)為，則有：，同時(shí)滿(mǎn)足M個(gè)部門(mén)總要素投入量落在資源集S中，我們記： ()為企業(yè)系統(tǒng)的生存域,即在內(nèi)我們認(rèn)為系統(tǒng)是生存的,上式()中, , 為部門(mén)DPi的產(chǎn)出, TGi為部門(mén)DPi的產(chǎn)出目標(biāo)集.我們記: , i=1,2,…,M.下面我們定義一個(gè)均衡部門(mén)綜合投入集合為: ()上式()中,為對(duì)部門(mén)DPi的保持為初值時(shí)的一個(gè)常數(shù),上式的意思就是為了保持企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)均衡增長(zhǎng),即企業(yè)生產(chǎn)能力和勞動(dòng)力配置達(dá)到平衡,此時(shí),必存在滿(mǎn)足條件的一個(gè)SDP,當(dāng)企業(yè)按這個(gè)SDP在部門(mén)之間分配資源時(shí),企業(yè)必能保持均衡增長(zhǎng)[45]。我們把勞動(dòng)力增長(zhǎng)變化反映到資本變化當(dāng)中去,即在SDPi中,我們就考慮SDPKi的作用，設(shè)ki為部門(mén)DPi的人均資本占有，Ii為部門(mén)DPi的人均投資,si為部門(mén)DPi 的儲(chǔ)蓄(或投資)的比例,ni為部門(mén)DPi的勞動(dòng)力增長(zhǎng)率,則處理后的結(jié)果為:,而相應(yīng)總的企業(yè)人均投資變?yōu)镮=nsf(k).函數(shù)刻劃了部門(mén)DPi的投資量需求,而支持函數(shù)可以看作M個(gè)部門(mén)在綜合投入SDP下占有的總的生產(chǎn)資源供給,則此時(shí)有： （）于是有:由此,我們將尋求一個(gè)均衡部門(mén)投入,使下式達(dá)到平衡: () 滿(mǎn)足式()的部門(mén)綜合投入稱(chēng)為一個(gè)“Walras均衡”或“出清市場(chǎng)”。由式()還可以看出,這個(gè)模型是分散化的,所謂分散化是指一個(gè)由許多不同目標(biāo)的行為激勵(lì)的復(fù)雜系統(tǒng)分配有限資源的能力。第DPi部門(mén)的投入要素的需求只與該部門(mén)的綜合投入及該部門(mén)的分配的投入要素有關(guān),對(duì)整個(gè)企業(yè)來(lái)說(shuō),應(yīng)該有一個(gè)人均資本投入不能超過(guò)最大人均資本產(chǎn)出的儲(chǔ)蓄(或投資)比例數(shù),即: ()上式()即為廣義的 Walras律，即企業(yè)人均投資需求不能超過(guò)人均供給。同樣對(duì)于各個(gè)部門(mén)的個(gè)體而言,我們有狹義的Walras律: () 為推出企業(yè)系統(tǒng)中Walras均衡的的存在,下面不加證明地引入KyFan定理。 (KyFan定理) 如果K為緊凸集,函數(shù)滿(mǎn)足:(i) 是下半連續(xù)的。(ii) 是凸的。(iii) 那么,存在,使: 很明顯,根據(jù)上述式()及().我們可以得出如下定理: 如果:I、 資源集S是閉凸的。II、 ,部門(mén)要素投入集是閉凸的,且有下界。III、 需求函數(shù)連續(xù),且滿(mǎn)足廣義Walras律()那么,該企業(yè)系統(tǒng)存在一個(gè)Walras平衡.證明: 令為定義在上的函數(shù), 函數(shù)對(duì)SDP來(lái)說(shuō)顯然是下半連續(xù)的，因?yàn)閷?duì)SDP是下半連續(xù)的,對(duì)I來(lái)說(shuō)顯然是凸的,所以有: 因此,由KyFan不等式,可以推出:存在一個(gè)Walras