高中數學選修4-5知識點最全版資料-資料下載頁
2025-04-04 05:16本頁面
【正文】 立，這種證明方法稱為數學歸納法．2．數學歸納法的適用范圍適用于證明一個與無限多個正整數有關的命題．3．數學歸納法的步驟(1)(歸納奠基)驗證當n＝n0(n0為命題成立的起始自然數)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設當n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時命題成立，推導n＝k＋1時命題也成立．(3)結論：由(1)(2)可知，命題對一切n≥n0的自然數都成立．注意：用數學歸納法證明，關鍵在于兩個步驟要做到“遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉”，因此必須注意以下三點：(1)驗證是基礎．數學歸納法的原理表明：第一個步驟是要找一個數n0，這個n0就是我們要證明的命題對象的最小自然數，這個自然數并不一定就是“1”，因此“找準起點，奠基要穩(wěn)”是正確運用數學歸納法要注意的第一個問題．(2)遞推是關鍵．數學歸納法的實質在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過程，必須把歸納假設“n＝k”時命題成立作為條件來導出“n＝k＋1”時命題成立，在推導過程中，要把歸納假設用上一次或幾次，沒有用上歸納假設的證明不是數學歸納法．(3)正確尋求遞推關系．數學歸納法的第二步遞推是至關重要的，那么如何尋找遞推關系呢？①在第一步驗證時，不妨多計算幾項，并正確寫出來，這樣對發(fā)現遞推關系是有幫助的；②探求數列的通項公式時，要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察n處在哪個位置；③在書寫f(k＋1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項．除此之外，多了哪些項，少了哪些項都要分析清楚．二 用數學歸納法證明不等式舉例1．數學歸納法證明不等式(1)用數學歸納法證明一個與正整數有關的不等式的步驟．①證明：當n取第一個值n0時結論成立；②假設當n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時結論成立，證明當n＝k＋1時結論也成立．由①②可知命題對從n0開始的所有正整數n都成立．(2)用數學歸納法證明不等式的重點．用數學歸納法證明不等式的重點在第二步(同時也是難點所在)，即假設f(k)g(k)成立，證明f(k＋1)g(k＋1)成立．2．貝努利不等式(1)定義：如果x是實數，且x－1，x≠0，n為大于1的自然數，那么有(1＋x)n1＋nx．(2)作用：在數學研究中經常用貝努利不等式把二項式的乘方(1＋x)n縮小為簡單的1＋nx的形式，這在數值估計和放縮法證明不等式中有重要應用．例如：當x是實數，且x－1，x≠0時，由貝努利不等式不難得到不等式1－對一切不小于2的正整數n成立．(3)貝努利不等式的一般形式．(1)當α是實數，并且滿足α1或α0時，有(1＋x)α≥1＋αx(x－1)；(2)當α是實數，并且滿足0α1時，有(1＋x)α≤1＋αx(x－1)．3．歸納—猜想—證明的思想方法數學歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現在“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法中．一方面可用數學歸納法證明已有的與自然數有關的結論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現某些結論、規(guī)律并用數學歸納法證明其正確性，形成“觀察—歸納—猜想—證明”的思想方法．1．關于用數學歸納法證明不等式的四點注意(1)在從n＝k到n＝k＋1的過程中，應分析清楚不等式兩端(一般是左端)項數的變化，也就是要認清不等式的結構特征．(2)瞄準當n＝k＋1時的遞推目標，從中分離出n＝k時的相應式子，借助不等式性質用上歸納假設．(3)明確用上歸納假設后要證明的不等式應是怎樣的，然后通過運用放縮法、分析法、比較法、綜合法等方法進行證明．(4)有些不等式先用分析法轉化為另一個較為簡單的不等式然后再用數學歸納法證明．2．關于貝努利不等式(1)(1＋x)n1＋nx成立的兩個條件：①n∈N＋且n≥2；②x的取值范圍是x－1且x≠0.于是有命題：當n∈N＋且n≥2時不等式(1＋x)n1＋nx對一切x∈(－1，0)∪(0，＋∞)恒成立．(2)常用特例：①當x－1且x≠0時，(1＋x)21＋2x；②當x－1且x≠0時，(1＋x)31＋3x.3．重要結論(1)當n≥5時，n22n.(2)當n∈N＋時，|sin nθ|≤n|sin θ|.
數學相關推薦
鄂ICP備17016276號-1