高中數(shù)學(xué)選修4-5知識(shí)點(diǎn)最全版資料(存儲(chǔ)版)
【正文】 等式舉例1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的不等式的步驟．①證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)結(jié)論成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．由①②可知命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn)．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的重點(diǎn)在第二步(同時(shí)也是難點(diǎn)所在)，即假設(shè)f(k)g(k)成立，證明f(k＋1)g(k＋1)成立．2．貝努利不等式(1)定義：如果x是實(shí)數(shù)，且x－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1＋x)n1＋nx．(2)作用：在數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常用貝努利不等式把二項(xiàng)式的乘方(1＋x)n縮小為簡(jiǎn)單的1＋nx的形式，這在數(shù)值估計(jì)和放縮法證明不等式中有重要應(yīng)用．例如：當(dāng)x是實(shí)數(shù)，且x－1，x≠0時(shí)，由貝努利不等式不難得到不等式1－對(duì)一切不小于2的正整數(shù)n成立．(3)貝努利不等式的一般形式．(1)當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足α1或α0時(shí)，有(1＋x)α≥1＋αx(x－1)；(2)當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足0α1時(shí)，有(1＋x)α≤1＋αx(x－1)．3．歸納—猜想—證明的思想方法數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法中．一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，形成“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思想方法．1．關(guān)于用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四點(diǎn)注意(1)在從n＝k到n＝k＋1的過程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端(一般是左端)項(xiàng)數(shù)的變化，也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征．(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n＝k＋1時(shí)的遞推目標(biāo)，從中分離出n＝k時(shí)的相應(yīng)式子，借助不等式性質(zhì)用上歸納假設(shè)．(3)明確用上歸納假設(shè)后要證明的不等式應(yīng)是怎樣的，然后通過運(yùn)用放縮法、分析法、比較法、綜合法等方法進(jìn)行證明．(4)有些不等式先用分析法轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較為簡(jiǎn)單的不等式然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明．2．關(guān)于貝努利不等式(1)(1＋x)n1＋nx成立的兩個(gè)條件：①n∈N＋且n≥2；②x的取值范圍是x－1且x≠0.于是有命題：當(dāng)n∈N＋且n≥2時(shí)不等式(1＋x)n1＋nx對(duì)一切x∈(－1，0)∪(0，＋∞)恒成立．(2)常用特例：①當(dāng)x－1且x≠0時(shí)，(1＋x)21＋2x；②當(dāng)x－1且x≠0時(shí)，(1＋x)31＋3x.3．重要結(jié)論(1)當(dāng)n≥5時(shí)，n22n.(2)當(dāng)n∈N＋時(shí)，|sin nθ|≤n|sin θ|.。分析:由，得和。例1： 解不等式?！輆c＋bd.(4)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2.4．基本不等式與二維柯西不等式的對(duì)比(1)基本不等式是兩個(gè)正數(shù)之間形成的不等關(guān)系．二維柯西不等式是四個(gè)實(shí)數(shù)之間形成的不等關(guān)系，從這個(gè)意義上講，二維柯西不等式是比基本不等式高一級(jí)的不等式．(2)基本不等式具有放縮功能，利用它可以比較大小，證明不等式，當(dāng)和(或積)為定值時(shí)，可求積(或和)的最值，同樣二維形式的柯西不等式也有這些功能，利用二維形式的柯西不等式求某些特殊函數(shù)的最值非常有效．二 一般形式的柯西不等式1．三維形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是實(shí)數(shù)，則(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1，2，3)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，3)時(shí)，等號(hào)成立．2．一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立．注意：1．對(duì)柯西不等式一般形式的說明：一般形式的柯西不等式是二維形式 、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點(diǎn)可類比二維形式的柯西不等式來總結(jié)，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方．運(yùn)用時(shí)的關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式．2．關(guān)于柯西不等式的證明：
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