高中數(shù)學(xué)選修4-5知識(shí)點(diǎn)最全版資料-文庫(kù)吧資料
2025-04-10 05:16本頁(yè)面
【正文】 ＋nx．(2)作用：在數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常用貝努利不等式把二項(xiàng)式的乘方(1＋x)n縮小為簡(jiǎn)單的1＋nx的形式，這在數(shù)值估計(jì)和放縮法證明不等式中有重要應(yīng)用．例如：當(dāng)x是實(shí)數(shù)，且x－1，x≠0時(shí)，由貝努利不等式不難得到不等式1－對(duì)一切不小于2的正整數(shù)n成立．(3)貝努利不等式的一般形式．(1)當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足α1或α0時(shí)，有(1＋x)α≥1＋αx(x－1)；(2)當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足0α1時(shí)，有(1＋x)α≤1＋αx(x－1)．3．歸納—猜想—證明的思想方法數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法中．一方面可用數(shù)學(xué)歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，形成“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思想方法．1．關(guān)于用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四點(diǎn)注意(1)在從n＝k到n＝k＋1的過(guò)程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端(一般是左端)項(xiàng)數(shù)的變化，也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征．(2)瞄準(zhǔn)當(dāng)n＝k＋1時(shí)的遞推目標(biāo)，從中分離出n＝k時(shí)的相應(yīng)式子，借助不等式性質(zhì)用上歸納假設(shè)．(3)明確用上歸納假設(shè)后要證明的不等式應(yīng)是怎樣的，然后通過(guò)運(yùn)用放縮法、分析法、比較法、綜合法等方法進(jìn)行證明．(4)有些不等式先用分析法轉(zhuǎn)化為另一個(gè)較為簡(jiǎn)單的不等式然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明．2．關(guān)于貝努利不等式(1)(1＋x)n1＋nx成立的兩個(gè)條件：①n∈N＋且n≥2；②x的取值范圍是x－1且x≠0.于是有命題：當(dāng)n∈N＋且n≥2時(shí)不等式(1＋x)n1＋nx對(duì)一切x∈(－1，0)∪(0，＋∞)恒成立．(2)常用特例：①當(dāng)x－1且x≠0時(shí)，(1＋x)21＋2x；②當(dāng)x－1且x≠0時(shí)，(1＋x)31＋3x.3．重要結(jié)論(1)當(dāng)n≥5時(shí)，n22n.(2)當(dāng)n∈N＋時(shí)，|sin nθ|≤n|sin θ|.。 ≥|ac|＋|bd|.(3) β|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立．3．二維形式的三角不等式設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥ 注意：1．二維柯西不等式的三種形式及其關(guān)系定理1是柯西不等式的代數(shù)形式，定理2是柯西不等式的向量形式，定理3是柯西不等式的三角形式．根據(jù)向量的意義及其坐標(biāo)表示不難發(fā)現(xiàn)二維形式的柯西不等式及二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐標(biāo)表示．2．理解并記憶三種形式取“＝”的條件(1)代數(shù)形式中當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)取等號(hào)．(2)向量形式中當(dāng)存在實(shí)數(shù)k，α＝kβ或β＝0時(shí)取等號(hào)．(3)三角形式中當(dāng)P1，P2，O三點(diǎn)共線且P1，P2在原點(diǎn)O兩旁時(shí)取等號(hào)．3．掌握二維柯西不等式的常用變式(1) 解:當(dāng)x＜2時(shí)，得， 解得： 當(dāng)2≤x≤1時(shí)，得， 解得：當(dāng)時(shí)，得 ， 解得：綜上，原不等式的解集為。分析:由，得和。幾何平均不等式1．如果a、b、c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立．2．(定理3)如果a、b、c∈R＋，那么 (≥)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立．即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均．3．如果a1，a2，…，an∈R＋，那么≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立．即對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均．二 絕對(duì)值不等式1．絕對(duì)值三角不等式1．絕對(duì)值及其幾何意義(1)絕對(duì)值定義：|a|＝(2)絕對(duì)值幾何意義：實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離|OA|.(3)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式：設(shè)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)x1，x2，則|AB|＝|x1－x2|．2．絕對(duì)值三角不等式(1)定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立．推論1：如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.推論2：如果a，b是實(shí)數(shù)，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)定理2：
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