高中數(shù)學(xué)選修4-5知識點最全版資料-文庫吧在線文庫
【正文】 對于函數(shù)f(x)＝(a1x－b1)2＋(a2x－b2)2 ＋…＋(anx－bn)2，顯然f(x)≥0時x∈R恒成立，即f(x)＝(a＋a＋…＋a)x2－2(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)x＋(b＋b＋…＋b)≥0對x∈R恒成立，∴Δ＝ 4(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2－4(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≤0，除以4得(a＋a＋…＋a)例2：解不等式|2x－4|－|3x＋9|1.解：①當(dāng)x2時，原不等式可化為解得x2.②當(dāng)－3≤x≤2時，原不等式可化為解得－x≤2.③當(dāng)x－3時，原不等式可化為解得x－12.綜上所述，原不等式的解集為 {x|x－12或x－}．第二講 證明不等式的基本方法 一 比較法 1．作差比較法(簡稱比差法)(1)作差比較法的證明依據(jù)是：ab?a－b0；a＝b?a－b＝0；ab?a－b0.(2)基本步驟是：①作差；②變形；③判號；④結(jié)論．2．作商比較法(簡稱比商法)(1)作商比較法的證明依據(jù)是：當(dāng)b0時，1?ab；＝1?a＝b；1?ab.(2)基本步驟是：①作商；②變形；③比較與1的大?。虎芙Y(jié)論．注意：對作差比較法的理解(1)在證明不等式的各種方法中，作差比較法是最基本、最重要的方法．作差比較法是通過確定不等式兩邊的差的符號來證明不等式的，因而其應(yīng)用非常廣泛．(2)不等式差的符號是正是負，一般必須利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形才能判斷，其中變形的目的在于判斷差的符號，而不必考慮差的值是多少．變形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等．(3)作差比較法，主要適用于不等式兩邊是整式或分式型的有理不等式的證明．(4)在判定不等式兩邊的式子同號的條件下，如果直接作差不易變形，可以借助不等式性質(zhì)作平方差或立方差，進行證明．2．對作商比較法的理解(1)使用作商法證明不等式ab時，一定要注意b0這個前提條件．若b0，1?ab，＝1?a＝b，1?ab.(2)當(dāng)欲證明的不等式的兩邊是乘積形式、指數(shù)冪形式，不同底的對數(shù)式形式時，常用作商法證明．二 綜合法與分析法1．綜合法一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чǎ?．分析法證明命題時，從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法．這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法．注意:1．用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系A(chǔ)?B1?B2?…?Bn?B由已知逐步推演不等式成立的必要條件，從而得結(jié)論．2．用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系A(chǔ)?B1?B2?…?Bn?B由結(jié)論步步尋求不等式成立的充分條件，從而到已知．3．綜合法和分析法的比較(1)相同點：都是直接證明．(2)不同點：綜合法：由因?qū)Ч?，形式簡潔，易于表達；分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探索．4．證明不等式的通常做法常用分析法找證題切入點，用綜合法寫證題過程．三 反證法與放縮法1．反證法證明不等式時，首先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立．我們把它稱之為反證法．2．放縮法證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法．3．換元法將所證的不等式的字母作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，以達到簡化證題過程的目的，這種方法稱為換元法．注意：1．關(guān)于反證法(1)反證法的原理是否定之否定等于肯定．即— ↓ —(2)反證法的使用范圍一般以下幾種情況適宜使用反證法：①結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題；②有關(guān)結(jié)論是以“至多…”或“至少…”的形式出現(xiàn)的一類命題；③關(guān)于唯一性、存在
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