抽象函數(shù)習(xí)題精選精講-資料下載頁
2025-03-25 02:32本頁面
【正文】 一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問題例5. 設(shè)對滿足的所有實數(shù)x，函數(shù)滿足，求f(x)的解析式。解：在中以代換其中x，得：再在(1)中以代換x，得化簡得：評析：如果把x和分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五、單調(diào)性問題例6. 設(shè)f(x)定義于實數(shù)集上，當(dāng)時，且對于任意實數(shù)x、y，有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當(dāng)時，；當(dāng)時，而所以又當(dāng)時，所以對任意，恒有設(shè)，則所以所以在R上為增函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問題例7. 已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。七、對稱性問題例8. 已知函數(shù)滿足，求的值。解：已知式即在對稱關(guān)系式中取，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點（0，2002）對稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)的圖象關(guān)于點（2002，0）對稱。所以將上式中的x用代換，得評析：這是同一個函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設(shè)a、b均為常數(shù)，函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點（a，b）成中心對稱圖形。八、網(wǎng)絡(luò)綜合問題例9. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有，且當(dāng)x0時，0f(x)1。（1）判斷f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若，試確定a的取值范圍。解：（1）在中，令，得，因為，所以。在中，令因為當(dāng)時，所以當(dāng)時而所以又當(dāng)x=0時，所以，綜上可知，對于任意，均有。設(shè)，則所以所以在R上為減函數(shù)。（2）由于函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù)，所以即有又，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有由，所以直線與圓面無公共點。因此有，解得。評析：（1）要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個問題：一是f(0)的取值問題，二是f(x)0的結(jié)論。這是解題的關(guān)鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進(jìn)行。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于問題的思考和解決。
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1